Монотонний клас
ред.
Монотонним класом підмножин називається клас
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
Ω
{\displaystyle \Omega }
зліченного об'єднання і зліченного перетину . А саме:
Якщо
A
1
,
A
2
,
…
∈
M
{\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {M}}}
A
1
⊆
A
2
⊆
⋯
{\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots }
⋃
i
=
1
∞
A
i
∈
M
,
{\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {M}},}
Якщо
B
1
,
B
2
,
…
∈
M
{\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots \in {\mathcal {M}}}
B
1
⊇
B
2
⊇
⋯
{\displaystyle B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq \cdots }
⋂
i
=
1
∞
B
i
∈
M
.
{\textstyle \bigcap _{i=1}^{\infty }B_{i}\in {\mathcal {M}}.}
Твердження теореми
ред.
Доведення
ред.
Нехай спершу
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
A
n
∈
R
,
n
⩾
1
{\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {R}},\quad n\geqslant 1}
n
⩾
1
{\displaystyle n\geqslant 1}
B
n
=
⋃
i
=
1
n
A
i
∈
R
.
{\displaystyle B_{n}=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {R}}.}
B
n
⊂
B
n
+
1
{\displaystyle B_{n}\subset B_{n+1}}
n
⩾
1
{\displaystyle n\geqslant 1}
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
⋃
n
=
1
∞
B
n
∈
R
.
{\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}\in {\mathcal {R}}.}
⋃
n
=
1
∞
B
n
=
⋃
n
=
1
∞
(
⋃
i
=
1
n
A
i
)
=
⋃
n
=
1
∞
A
n
.
{\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}.}
⋃
n
=
1
∞
A
n
∈
R
{\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
У загальному випадку оскільки кожне σ-кільце є монотонним класом, то
m
(
R
)
⊂
σ
(
R
)
.
{\displaystyle m({\mathcal {R}})\subset \sigma ({\mathcal {R}}).}
m
(
R
)
{\displaystyle m({\mathcal {R}})}
Для довільної множини
E
∈
m
(
R
)
{\displaystyle E\in m({\mathcal {R}})}
L
(
E
)
=
{
C
⊂
Ω
|
E
∪
C
,
E
∖
C
,
C
∖
E
∈
m
(
R
)
}
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}(E)=\{C\subset \Omega \ |\ E\cup C,\ E\setminus C,\ C\setminus E\in m({\mathcal {R}})\}.}
Тоді:
Для кожного
E
∈
R
:
R
⊂
L
(
E
)
.
{\displaystyle E\in {\mathcal {R}}:\ {\mathcal {R}}\subset {\mathcal {L}}(E).}
Для кожного
F
∈
m
(
R
)
{\displaystyle F\in m({\mathcal {R}})}
L
(
F
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}(F)}
Перша властивість відразу випливає із того, що
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
R
⊂
m
(
R
)
{\displaystyle {\mathcal {R}}\subset m({\mathcal {R}})}
B
n
∈
L
(
F
)
,
n
⩾
1
{\displaystyle B_{n}\in {\mathcal {L}}(F),\quad n\geqslant 1}
B
1
⊆
B
2
⊆
⋯
{\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\subseteq \cdots }
n
⩾
1
{\displaystyle n\geqslant 1}
(
B
n
∪
F
)
⊂
(
B
n
+
1
∪
F
)
,
{\displaystyle (B_{n}\cup F)\subset (B_{n+1}\cup F),}
(
B
n
∖
F
)
⊂
(
B
n
+
1
∖
F
)
{\displaystyle (B_{n}\setminus F)\subset (B_{n+1}\setminus F)}
(
F
∖
B
n
+
1
)
⊂
(
F
∖
B
n
)
.
{\displaystyle (F\setminus B_{n+1})\subset (F\setminus B_{n}).}
F
∪
C
,
F
∖
C
,
C
∖
F
∈
m
(
R
)
{\displaystyle \ F\cup C,\ F\setminus C,\ C\setminus F\in m({\mathcal {R}})}
⋃
n
=
1
∞
B
n
⋃
F
=
⋃
n
=
1
∞
(
B
n
∪
F
)
∈
m
(
R
)
.
{\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}\ \bigcup F=\bigcup _{n=1}^{\infty }(B_{n}\cup F)\in m({\mathcal {R}}).}
⋃
n
=
1
∞
B
n
∖
F
=
⋃
n
=
1
∞
(
B
n
∖
F
)
∈
m
(
R
)
.
{\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}\ \setminus F=\bigcup _{n=1}^{\infty }(B_{n}\setminus F)\in m({\mathcal {R}}).}
F
∖
⋃
n
=
1
∞
B
n
=
⋂
n
=
1
∞
(
F
∖
B
n
)
∈
m
(
R
)
.
{\displaystyle F\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}\ =\bigcap _{n=1}^{\infty }(F\setminus B_{n})\in m({\mathcal {R}}).}
Відповідно
⋃
n
=
1
∞
B
n
∈
L
(
F
)
.
{\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}\in {\mathcal {L}}(F).}
E
∈
R
{\displaystyle E\in {\mathcal {R}}}
L
(
E
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}(E)}
R
,
{\displaystyle {\mathcal {R}},}
m
(
R
)
⊂
L
(
E
)
.
{\displaystyle m({\mathcal {R}})\subset {\mathcal {L}}(E).}
A
1
∈
m
(
R
)
{\displaystyle A_{1}\in m({\mathcal {R}})}
E
∈
R
{\displaystyle E\in {\mathcal {R}}}
E
∪
A
1
,
E
∖
A
1
,
A
1
∖
E
{\displaystyle E\cup A_{1},\ E\setminus A_{1},\ A_{1}\setminus E}
A
1
∈
m
(
R
)
{\displaystyle A_{1}\in m({\mathcal {R}})}
m
(
R
)
⊂
L
(
A
1
)
.
{\displaystyle m({\mathcal {R}})\subset {\mathcal {L}}(A_{1}).}
A
1
,
A
2
∈
m
(
R
)
{\displaystyle A_{1},A_{2}\in m({\mathcal {R}})}
A
1
∪
A
2
,
A
2
∖
A
1
,
A
1
∖
A
2
{\displaystyle A_{1}\cup A_{2},\ A_{2}\setminus A_{1},\ A_{1}\setminus A_{2}}
m
(
R
)
.
{\displaystyle m({\mathcal {R}}).}
m
(
R
)
{\displaystyle m({\mathcal {R}})}
Див. також
ред.
Література
ред.
Дороговцев, А. Я. (1989), Элементы общей теории меры и интеграла , К.: Вища школа, с. 152, ISBN 5-11-001190-7 
