У математиці, теорема Феєра , стверджує, що якщо f :R → C є неперервна функція із періодом 2π, тоді послідовність середніх за Чезаро (σn s n f рівномірно збігається до f на проміжку [-π,π].
Більш детально, якщо:
s
n
(
x
)
=
∑
k
=
−
n
n
c
k
e
i
k
x
,
{\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx},}
є частковими сумами ряду Фур'є, де
c
k
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
t
)
e
−
i
k
t
d
t
,
{\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}dt,}
і
σ
n
(
x
)
=
1
n
∑
k
=
0
n
−
1
s
k
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
x
−
t
)
F
n
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle \sigma _{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)F_{n}(t)dt,}
де F n ядро Феєра n -го порядку, то послідовність (σn f (x ).
Більш загально теорему можна застосувати до функцій які можуть не бути неперервними [1] f належить L 1 (-π,π) і існують односторонні границі f (x 0 ±0) функції f (x ) у точці x 0 або ці границі є нескінченні із однаковим знаком, то
σ
n
(
x
0
)
→
1
2
(
f
(
x
0
+
0
)
+
f
(
x
0
−
0
)
)
.
{\displaystyle \sigma _{n}(x_{0})\to {\frac {1}{2}}\left(f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0)\right).}
Згідно теореми Марселя Ріса теорема Феєра також виконується якщо замінити (C, 1)-середнє σn [2]
Підставляючи коефіцієнти Фур'є у формули для часткових сум одержуються загальні формули:
s
n
(
x
)
=
∑
k
=
−
n
n
(
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
t
)
e
−
i
k
t
d
t
)
e
i
k
x
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
t
)
∑
k
=
−
n
n
e
i
k
(
x
−
t
)
d
t
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
t
)
D
n
(
x
−
t
)
d
t
.
{\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}dt\right)e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\sum _{k=-n}^{n}e^{ik(x-t)}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)D_{n}(x-t)dt.}
Після заміни змінних можна також написати
s
n
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
x
−
t
)
D
n
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle s_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)D_{n}(t)dt,}
де
D
n
(
t
)
{\displaystyle D_{n}(t)}
ядро Діріхле .
Тоді також
σ
n
(
x
)
=
1
n
+
1
∑
k
=
0
n
s
k
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
x
−
t
)
(
1
n
+
1
∑
k
=
0
n
D
n
(
t
)
)
d
t
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
x
−
t
)
F
n
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle \sigma _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}s_{k}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\left({\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{n}(t)\right)dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)F_{n}(t)dt,}
де
F
n
(
t
)
{\displaystyle F_{n}(t)}
ядро Феєра .
Далі, враховуючи, що для всіх ядер Феєра
1
2
π
∫
−
π
π
F
n
(
t
)
d
t
=
1
,
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F_{n}(t)dt=1,}
σ
n
(
x
)
−
f
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
(
f
(
x
−
t
)
−
f
(
x
)
)
F
n
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \sigma _{n}(x)-f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(f(x-t)-f(x)\right)F_{n}(t)dt.}
Оскільки ядро Феєра є невід'ємною функцією, то звідси:
|
σ
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
⩽
1
2
π
∫
−
π
π
|
f
(
x
−
t
)
−
f
(
x
)
|
F
n
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle |\sigma _{n}(x)-f(x)|\leqslant {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x-t)-f(x)|F_{n}(t)dt.}
Оскільки f є неперервною на проміжку [-π,π], то вона є на ньому рівномірно неперервною, тобто для кожного
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
|
x
−
y
|
⩽
δ
{\displaystyle |x-y|\leqslant \delta }
|
f
(
x
)
−
(
y
)
|
<
ε
/
2.
{\displaystyle |f(x)-(y)|<\varepsilon /2.}
Інтеграл із останньої рівності можна записати як суму
1
2
π
∫
−
π
π
|
f
(
x
−
t
)
−
f
(
x
)
|
F
n
(
t
)
d
t
=
I
1
+
I
2
,
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x-t)-f(x)|F_{n}(t)dt=I_{1}+I_{2},}
I
1
=
1
2
π
∫
|
t
|
⩽
δ
|
f
(
x
−
t
)
−
f
(
x
)
|
F
n
(
t
)
d
t
{\displaystyle I_{1}={\frac {1}{2\pi }}\int _{|t|\leqslant \delta }|f(x-t)-f(x)|F_{n}(t)dt}
I
2
=
1
2
π
∫
π
⩾
|
t
|
⩾
δ
|
f
(
x
−
t
)
−
f
(
x
)
|
F
n
(
t
)
d
t
{\displaystyle I_{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\pi \geqslant |t|\geqslant \delta }|f(x-t)-f(x)|F_{n}(t)dt}
Через рівномірну неперервність функції f і знову використавши рівність
1
2
π
∫
−
π
π
F
n
(
t
)
d
t
=
1
,
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F_{n}(t)dt=1,}
I
1
<
1
2
π
∫
|
t
|
⩽
δ
ε
F
n
(
t
)
d
t
=
ε
{\displaystyle I_{1}<{\frac {1}{2\pi }}\int _{|t|\leqslant \delta }\varepsilon F_{n}(t)dt=\varepsilon }
Для другого інтегралу, якщо позначити
M
=
sup
x
∈
[
−
π
,
π
]
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle M=\sup _{x\in [-\pi ,\pi ]}|f(x)|}
I
2
⩽
1
2
π
∫
π
⩾
|
t
|
⩾
δ
2
M
F
n
(
t
)
d
t
=
M
π
∫
π
⩾
|
t
|
⩾
δ
F
n
(
t
)
d
t
{\displaystyle I_{2}\leqslant {\frac {1}{2\pi }}\int _{\pi \geqslant |t|\geqslant \delta }2MF_{n}(t)dt={\frac {M}{\pi }}\int _{\pi \geqslant |t|\geqslant \delta }F_{n}(t)dt}
Згідно властивостей ядра Феєра останній вираз прямує до нуля для великих n, тобто для достатньо великих n:
I
2
⩽
M
π
∫
π
⩾
|
t
|
⩾
δ
F
n
(
t
)
d
t
<
ε
/
2.
{\displaystyle I_{2}\leqslant {\frac {M}{\pi }}\int _{\pi \geqslant |t|\geqslant \delta }F_{n}(t)dt<\varepsilon /2.}
Остаточно у цьому випадку
|
σ
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
⩽
1
2
π
∫
−
π
π
|
f
(
x
−
t
)
−
f
(
x
)
|
F
n
(
t
)
d
t
=
I
1
+
I
2
<
ε
/
2
+
ε
/
2
=
ε
.
{\displaystyle |\sigma _{n}(x)-f(x)|\leqslant {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x-t)-f(x)|F_{n}(t)dt=I_{1}+I_{2}<\varepsilon /2+\varepsilon /2=\varepsilon .}
Тобто
σ
n
(
x
)
{\displaystyle \sigma _{n}(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
n у доведенні вище був обраний єдиним для всіх
x
.
{\displaystyle x.}
![{\displaystyle M=\sup _{x\in [-\pi ,\pi ]}|f(x)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea6e376b120afee2c5ed0d87af6cb299c39e12a1)
