Ядро Діріхле
Ядро Діріхле — -періодична функція, що задається формулою[1]:
Функція є ядром, згортка з яким дає часткову суму тригонометричного ряда Фур'є. Це дозволяє аналітично оцінювати співвідношення між початковою функцією і її наближеннями в просторі .
Доведення тригонометричної тотожності ред.
За допомогою формули суми синусів ред.
Нехай є сума косинусів:
Помножимо кожен доданок на і перетворимо одержані доданки за допомогою стандартної тригонометричної формули
Необхідна рівність одержується діленням двох сторін на
За допомогою суми геометричної прогресії ред.
Сума скінченної геометричної прогресії є рівною
Як наслідок, зокрема:
Якщо домножити чисельник і знаменник на , то одержується рівність:
Для одержання необхідної тотожності у попередньому виразі потрібно взяти Тоді:
Співвідношення з рядом Фур'є ред.
Нехай — інтегровна на і -періодична, тоді для часткової суми ряду Фур'є виконується рівність:
Ця формула є однією із найважливіших в теорії рядів Фур'є.
Доведення ред.
Розглянемо n-ну часткову суму ряду Фур'є:
Застосовуючи формулу косинуса різниці до виразу під знаком суми, одержуємо:
Застосовуючи це перетворення до формули (4), одержуємо:
Після заміни змінної
Властивості ядра Діріхле ред.
- — функція -періодична і парна.