Теорема Пойнтінга

Теорема Пойнтінга (англ. Poynting's theorem) — теорема, що описує закон збереження енергії електромагнітного поля. Теорема була доведена у 1884 році Джоном Генрі Пойнтінгом. Все зводиться до наступної формули:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}$,

Де S — вектор Пойнтінга, J — густина струму і E — електричне поле. Густина енергії $u$ ($\epsilon _{0}$ — електрична стала, $\mu _{0}$ — магнітна стала).

$u={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{\mu _{0}}}\right).$

Теорема Пойнтінга в інтегральній формі:

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}u\ dV+\oint _{\partial V}\mathbf {S} \ d\mathbf {A} =-\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \ dV$,

де $\partial V\!$ — поверхня, що обмежуює об'єм $V\!$ .

У технічній літературі теорема зазвичай записується наступним чином ($u$ — густина енергії):

$\nabla \cdot \mathbf {S} +\varepsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0$,

де $\varepsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ — густина енергії електричного поля, ${\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ — густина енергії магнітного поля і $\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}$ — потужність втрат Джоуля на одиницю об'єму.

Доведення

Теорема може бути доведена з допомогою двох рівнянь Максвелла (для простоти вважаємо, що середовище — це вакуум (μ=1, ε=1); для загального випадку з довільним середовищем потрібно у формули до кожного ε₀ і μ₀ приписати ε і μ):

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.$

Домноживши дві частини рівняння на $\mathbf {B}$, отримаємо:

$\mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=-\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.$

Розглянемо спочатку рівняння Максвелла-Ампера:

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.$

Домноживши дві частини рівняння на $\mathbf {E}$, отримаємо:

$\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mathbf {E} \cdot \mu _{0}\mathbf {J} +\mathbf {E} \cdot \epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.$

Віднявши перше рівняння з другого, отримаємо:

$\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.$

Нарешті:

$-\nabla \cdot \ (\mathbf {E} \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.$

Оскільки вектор Пойнтінга $\mathbf {S}$ визначається как:

$\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B}$

це рівнозначно:

$\nabla \cdot \mathbf {S} +\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0.$

Узагальнення

Механічна енергія у теоремі визначається як

${\frac {\partial }{\partial t}}u_{m}(\mathbf {r} ,t)+\nabla \cdot \mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t),$

де u_m — кінетична енергія густини у системі. Вона може бути описана як сума кінетичної енергії частинок α

$u_{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t)),$

$\mathbf {S_{m}}$ — потік енергії, або «механічний вектор Пойнтінга»:

$\mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}{\dot {\mathbf {r} }}_{\alpha }\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t)).$

Рівняння неперервності енергії, або закон збереження енергії

${\frac {\partial }{\partial t}}\left(u_{e}+u_{m}\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {S} _{e}+\mathbf {S} _{m}\right)=0,$

Альтернативні форми

Можна отримати й інші форми теореми Пойнтінга. Замість того щоб використовувати вектор потоку $\mathbf {S} \propto \mathbf {E} \times \mathbf {B}$ можна вибрати форму Авраама $\mathbf {E} \times \mathbf {H}$, форму Мінковського $\mathbf {D} \times \mathbf {B}$, або якусь іншу.

Джерела

• Eric W. Weisstein "Poynting Theorem" From ScienceWorld – A Wolfram Web Resource.
• 5.1. ТЕОРЕМА УМОВА - ПОЙНТІНГА, c.91. Основи електродинаміки. Клубіс Я.Д., Шкатуляк Н.М.