У комплексному аналізі теорема Ландау — один із класичних результатів так званої геометричної теорії функцій комплексної змінної, яка пов'язана з теоремами Блоха, Блоха — Ландау, Шотткі і може використовуватися зокрема для доведення малої теореми Пікара — одного з найвідоміших тверджень комплексного аналізу.

Твердження теореми

ред.

Якщо   є голоморфною функцією всередині круга  , що не є рівною в цьому крузі 0 і 1 і  , то має місце нерівність  ), де   залежить тільки від   і   і не залежить від самої функції.

Доведення

ред.

Розглянемо спершу функцію  , голоморфну всередині круга  , що не є рівною 0 і 1 в цьому крузі. Побудуємо допоміжну функцію

 

Ця функція   буде голоморфною всередині круга  , оскільки функція   в цьому крузі не дорівнює нулю і не дорівнює одиниці. Крім того, функція   не є рівною числам виду  , де  натуральне число,   — будь-яке ціле число. Позначимо множину цих точок  .

Справді, розв'язуючи рівняння для   щодо  , знайдемо:

 

і, отже, вважаючи   рівним будь-якому значенню з множини  , мали б  , що неможливо.

Кожна точка комплексної площини знаходиться від множини   (тобто від найближчої точки цієї множини) на відстані, меншій  , де   — деяка константа, що безпосередньо випливає з рівностей

 

і

 .

Припускаючи  , розглянемо функцію:

 .

Згідно теореми Блоха для цієї функції існує круг з центром в деякій точці деякого радіуса  , що не залежить від конкретної функції і всі точки якого є значеннями цієї функції. Отже, для функції   буде існувати круг з центром у деякій точці радіуса  , всі точки якого є значеннями функції  . Оскільки цей круг не може містити точок множини  , то повинна виконуватись нерівність

 

Зрозуміло, що якщо  , то це нерівність теж є справедливою.

Отже, маємо:

 

де   — константа, яка не залежить від функції  . Повертаючись до даної функції  , з виразу цієї функції через   і попередньої нерівності отримаємо:

 ,

де   — деяка функція, що не залежить від функції  .

Тепер для функції в умовах теореми введемо функцію  . Функцію   є голоморфною при   і не рівною в цьому крузі 0 і 1. Застосовуючи до цієї функції останню доведену нерівність, отримуємо:   або, повертаючись до даної функції  ,   або   звідки випливає:   де  .

Теорема Ландау — Каратеодорі

ред.

В твердженні точно можна задати значення функції  . А саме в позначеннях теореми Ландау:

 ,

де   є гілкою оберненої функції до функції  модулярної ламбда функції, що за означенням є модулярною функцією групи дробово-лінійних перетворень  , де   є непарними цілими числами, а  парними.

Через тета функції модулярну ламбда функцію можна записати як  , через еліптичні функції Веєрштраса 

Фундаментальною областю є регіон  .

У області  також додаються граничні точки для яких  .

За гілку оберненої функції в теоремі Ландау — Каратеодорі можна приймати ту гілку для якої значення функції належить фундаментальній області  .

Див. також

ред.

Література

ред.
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е. — Москва : Наука, 1977.
  • Hille E. (2002), Analytic function theory, т. Volume 2 (вид. 2ed., AMS), AMS Chelsea Publishing, ISBN 0821833448 {{citation}}: Cite має пустий невідомий параметр: |1= (довідка)