Теорема Гана — Банаха

Теорема Гана-Банаха — один із ключових результатів функціонального аналізу, що стверджує, що довільний обмежений функціонал, визначений на деякому підпросторі векторного простору можна продовжити на весь векторний простір.

Формулювання

Для векторного простору X над полем дійсних чисел функція $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ називається сублінійною, якщо виконуються наступні умови:

$f(\gamma x)=\gamma f\left(x\right)$  для довільних $\gamma \in \mathbb {R} _{+}$ та x ∈ X,

$f(x+y)\leqslant f(x)+f(y)$  для довільних x, y ∈ X.

Загальне твердження теореми можна подати так: Якщо $p\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ є сублінійною функцією, і $\varphi \colon Y\rightarrow \mathbb {R}$ є лінійним функціоналом на лінійному підпросторі Y простору X і також виконується нерівність:

$\varphi (x)\leqslant p(x)\qquad \forall x\in Y$

тоді існує продовження $\psi \colon X\rightarrow \mathbb {R}$ для φ на весь простір X, i.e., тобто існує функціонал ψ такий, що

$\psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in Y$

і

$\psi (x)\leqslant p(x)\qquad \forall x\in X.$

Доведення

Спершу доведемо, що існує продовження в одному напрямку. Нехай $z\in X\setminus Y$. Розглянемо лінійний простір виду:

$Y_{z}\doteq \left\{y+az,\ y\in Y,\ a\in \mathbb {R} \right\}.$

Продовження $\varphi$ на $Y_{z}$ запишемо:

$\psi (y+az)\doteq \varphi (y)+a\psi (z),$

де $\psi (z)$ — дійсне число, яке необхідно визначити.

Для довільних $y_{1},y_{2}\in Y$ і $a,b>0$ виконується:

$\varphi (ay_{1}+by_{2})=a\varphi (y_{1})+b\varphi (y_{2})=(a+b)\varphi \left({\frac {a}{a+b}}y_{1}+{\frac {b}{a+b}}y_{2}\right)\leqslant$

$(a+b)p\left({\frac {a}{a+b}}y_{1}+{\frac {b}{a+b}}y_{2}\right)=$

$(a+b)p\left({\frac {a}{a+b}}(y_{1}-bz)+{\frac {b}{a+b}}(y_{2}+az)\right)\leqslant$

$ap(y_{1}-bz)+bp(y_{2}+az).$

Звідси

$a\left(\varphi (y_{1})-p(y_{1}-bz)\right)\leqslant b\left(-\varphi (y_{2})+p(y_{2}+az)\right)$

Як наслідок

${\frac {1}{b}}\left(-p(y_{1}-bz)+\varphi (y_{1})\right)\leqslant {\frac {1}{a}}\left(p(y_{2}+az)-\varphi (y_{2})\right)\quad \forall \ y_{1},y_{2}\in Y,\quad \forall a,b>0.$

Визначимо $c\in \mathbb {R}$ так:

$\sup _{a>0,y\in Y}\left\{{\frac {1}{b}}\left[-p(y-bz)+\varphi (y)\right]\right\}\leqslant c\leqslant \inf _{a>0,y\in Y}\left\{{\frac {1}{a}}\left[p(y+az)-\varphi (y)\right]\right\}.$

Виконується рівність

$ac\leqslant p(y+az)-f(y)\quad \forall \ y\in Y,\quad \forall \ a\in \mathbb {R}$.

Визначимо

$\psi (z)=c.$

Для всіх $y\in Y$ і довільних $a\in \mathbb {R}$ справджується нерівність:

$\psi (y+az)=\varphi (y)+ac\leqslant p(y+az),$

тому

$\psi (x)\leqslant p(x)\quad \forall \ x\in Y_{z}.$

Для завершення доведення використовується лема Цорна. Нехай E є множиною усіх можливих продовжень, що задовольняють умови теореми. Дана множина є частково впорядкована за включенням областей визначення і кожна лінійно впорядкована підмножина має супремум (об'єднання областей визначення). Тому за лемою Цорна дана множина має максимальний елемент. Цей елемент рівний всьому простору, адже в іншому випадку можна здійснити дальше продовження, скориставшись щойно визначеною конструкцією.

Наслідки

• Якщо $X$ є нормованим простором, $M$ є його підпростором і $x^{*}\in M^{*}$ є деяким функціоналом на $M$, тоді існує $y^{*}\in X^{*}$ такий, що:

$y^{*}|_{M}=x^{*}$ і також $\|x^{*}\|=\|y^{*}\|$.

• Для довільних двох різних точок лінійного простору існує лінійний функціонал, що приймає різні значення в цих точках.

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.
• Rudin, Walter (1991), Functional Analysis (2nd ed.), McGraw-Hill Science/Engineering/Math, ISBN 978-0-07-054236-5
• Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, ISBN 0387709134