Відкрити головне меню

Теорема Гана — Банаха

(Перенаправлено з Теорема Гана-Банаха)

Теорема Гана-Банаха — один із ключових результатів функціонального аналізу, що стверджує, що довільний обмежений функціонал, визначений на деякому підпросторі векторного простору можна продовжити на весь векторний простір.

ФормулюванняРедагувати

Для векторного простору X над полем дійсних чисел функція   називається сублінійною, якщо виконуються наступні умови:

   для довільних   та x ∈ X,
   для довільних xy ∈ X.

Загальне твердження теореми можна подати так: Якщо   є сублінійною функцією, і   є лінійним функціоналом на лінійному підпросторі Y простору X і також виконується нерівність:

 

тоді існує продовження   для φ на весь простір X, i.e., тобто існує функціонал ψ такий, що

 

і

 

ДоведенняРедагувати

Спершу доведемо, що існує продовження в одному напрямку. Нехай  . Розглянемо лінійний простір виду:

 

Продовження   на   запишемо:

 

де   — дійсне число, яке необхідно визначити.

Для довільних   і   виконується:

 
 
 
 

Звідси

 

Як наслідок

 

Визначимо   так:

 

Виконується рівність

 .

Визначимо

 

Для всіх   і довільних   справджується нерівність:

 

тому

 

Для завершення доведення використовується лема Цорна. Нехай E є множиною усіх можливих продовжень, що задовольняють умови теореми. Дана множина є частково впорядкована за включенням областей визначення і кожна лінійно впорядкована підмножина має супремум (об'єднання областей визначення). Тому за лемою Цорна дана множина має максимальний елемент. Цей елемент рівний всьому простору, адже в іншому випадку можна здійснити дальше продовження, скориставшись щойно визначеною конструкцією.

НаслідкиРедагувати

  • Якщо   є нормованим простором,   є його підпростором і   є деяким функціоналом на  , тоді існує   такий ,що:
  і також  .
  • Для довільних двох різних точок лінійного простору існує лінійний функціонал, що приймає різні значення в цих точках.

ДжерелаРедагувати