Теорема Веддерберна

Теорема Веддерберна — твердження в абстрактній алгебрі про те, що довільне скінченне асоціативне тіло з одиницею є комутативним, тобто є полем. Теорема названа на честь англійського математика Джозефа Веддерберна.

Доведення

Позначимо F скінченне асоціативне тіло з одиницею характеристики p, Z його центр, a q = p^f кількість елементів у Z. Якщо розмірність F як лінійного простору над Z рівна n то F має qⁿ елементів. Мультиплікативну групу F* ненульових елементів тіла F можна розбити на класи еквівалентності щодо такого відношення еквівалентності:

елементи x₁ і x₂ групи F* є спряженими, якщо існує такий елемент y групи F*, що x₂ = y⁻¹x₁y.

Для $x\in F^{*}$ позначимо N(x) централізатор елемента x (щодо множення), тобто множину елементів F, що комутують з x. N(x) є підтілом в F, що містить Z. Якщо $\delta (x)$ є розмірністю векторного простору N(x) над Z, то N(x) має $q^{\delta (x)}$ елементів. Число n ділиться на $\delta (x)$ і $\delta (x)<n\;$ для $x\not \in Z$.

Кількість елементів групи F* спряжених з x рівна індексу групи N(x)* в F*, або

${\frac {q^{n}-1}{q^{\delta (x)}-1}}$,

тому: (*) $q^{n}-1=q-1+\sum \limits _{x}{\frac {q^{n}-1}{q^{\delta (x)}-1}}$, де сума здійснюється по деякому набору представників класів еквівалентності нецентральних елементів з F*.

Припустимо n > 1 і нехай

$P(T)=\prod \limits _{\zeta }(T-\zeta )$,

де множення здійснюється по всіх первісних коренях $\zeta \;$ n-того степеня з одиниці в полі комплексних чисел. Цей многочлен називається многочленом поділу кола. Якщо число $\delta$ ділить n i не є рівним n, то многочлен P ділить як $T^{n}-1$ так і

${\frac {T^{n}-1}{T^{\delta }-1}}$.

З (*) отримуємо, що також P (q) | q — 1 і, як наслідок $|P(q)|\leq q-1.$ З іншої сторони кожен множник в добутку

$P(q)=\prod \limits _{\zeta }(q-\zeta )$

має абсолютне значення більше від q — 1 і відповідно $|P(q)|>q-1.$

Тому n = 1 і F = Z, тобто F є полем.

Посилання

• Теорема Веддерберна на сайті PlanetMath (англ.)

Джерела

• Wedderburn. „Trans. Amer. Math. Soc.”. 6, ss. 349-352, 1905. Amer. math. Soc.. 
• Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Proofs from the book. Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-63698-6.
• Прасолов В. В. Многочлены. — 2-е. — Москва : МЦНМО, 2001. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.(рос.)