Тау-число ( -число, англ. refactorable number) — це таке ціле число , яке ділиться на число своїх дільників, або, з точки зору алгебри, таке , що .

Перші кілька тау-чисел[1]:

1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88, 96.

Наприклад, тау-число 18, яке має шість дільників (1 і 18, 2 і 9, 3 і 6) і ділиться на 6.

Асимптотична щільність тау-чисел — нуль. Відомо, що жодні три послідовні цілі числа не можуть бути тау-числами.[2] Крім того, Колтон довів, що жодне тау-число не є досконалим. Рівняння (де  — найбільший спільний дільник і ) має корінь тільки, якщо  — тау-число.

Залишається розглянути кілька питань щодо тау-чисел:

  • чи існують як завгодно великі , для яких і , і є тау-числами
  • якщо існує тау-число , чи випливає з цього, що існує , таке що є тау-числом і .

Кертіс Купер[en] і Роберт Кеннеді в 1990 році вперше виділили тау-числа.[3] Вони встановили, що тау-числа мають нульову асимптотичну щільність. Пізніше Саймон Колтон за допомогою програми, яку він написав для відкриття і перевірки різних визначень в теорії чисел і теорії графів[4], підтвердив їх відкриття. Але Колтон назвав ці числа англ. refactorable. Це вперше, коли програма знайшла нову або раніше непомічену ідею. Колтон довів багато відомостей про тау-числа, показавши нескінченність їх ряду і кілька умов їх розподілу.

ПриміткиРедагувати

  1. послідовність A033950 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
  2. J. Zelinsky, Tau Numbers: A Partial Proof of a Conjecture and Other Results // Journal of Integer Sequences, Vol. 5 (2002), Article 02.2.8
  3. Cooper, C.N. and Kennedy, R. E. Tau Numbers, Natural Density, and Hardy and Wright's Theorem 437 // Internat. J. Math. Math. Sci. 13, 383—386, 1990
  4. S. Colton, Refactorable Numbers — A Machine Invention // Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), Article 99.1.2