Статична ізотропна метрика

Статична ізотропна метрика — це метрика що визначає статичне ізотропне гравітаційне поле.

Під словами статичне та ізотропне розуміється наступне: завжди можна знайти набір кординат близький до кординат Мінковського $x^{1},x^{2},x^{3},x^{0}=t$, такий що інварінтний власний час $d\tau ^{2}=-g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }$ не залежить від $t$ а залежить від $\mathbf {x} ,\mathbf {dx}$ і тільки через інваріанти групи поворотів: $\mathbf {x^{2}} ,\mathbf {x} \cdot \mathbf {dx} ,\mathbf {dx^{2}}$. Найзагальніший вигляд запису інтервалу:
$d\tau ^{2}=F(r)dt^{2}-2E(r)dt\mathbf {x} \cdot \mathbf {dx} -D(r)(\mathbf {x} \cdot \mathbf {dx} )^{2}-C(r)\mathbf {dx^{2}}$ ,
де $F,E,C,D$ - невідомі функції величини $r\equiv (\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )^{1/2}$

Зведення до стандартного вигляду

Вигідно замінити $\mathbf {x}$ сферичними полярними кординатами $r,\theta ,\phi$:

$x^{1}=r\sin \theta \cos \varphi \,;$

$x^{2}=r\sin \theta \sin \varphi \,;$

$x^{3}=r\cos \varphi \,.$

Інтервал в такому разі прийме вигляд:

$d\tau ^{2}=F(r)dt^{2}-2rE(r)dtdr-r^{2}D(r)dr^{2}-C(r)(dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})\,$,

Ми можемо встановити наш годинник згідно з визначенням нової часової кординати

$t'\equiv t+\Phi (r)\,$

де $\Phi (r)$ - довільна функція від $r$. Це дозволяє виключити недіагональний елемент $g_{tr}$, поклавши

${\frac {d\Phi }{dr}}=-{\frac {rE(r)}{F(r)}}$

Тоді інтервал виражається так:

$d\tau ^{2}=F(r)dt'^{2}-r^{2}G(r)dr^{2}-C(r)(dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})\,$

$G(r)\equiv r^{2}\left(D(r)+{\frac {E^{2}(r)}{F(r)}}\right)$

Ми також можемо перевизначити радіус $r$ і тим самим накласти ще одну умову на функції $F,G,C$, наприклад таким чином $r'\equiv r^{2}C(r)$ . Тоді ми отримаємо так звану стандартну форму для статичної ізотропної метрики:

$d\tau ^{2}=B(r')dt'^{2}-A(r')dr'^{2}-r'^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})\,$

де

$B(r)\equiv F(r')$

$A(r)\equiv (1+{\frac {G(r)}{C(r)}})\left(1+{\frac {r}{2C(r)}}{\frac {dC(r)}{dr}}\right)^{-2}$

Після останнього перетворення метричний тензор має такі ненульові компоненти:

$g_{rr}=A(r)$

$g_{\theta \theta }=r^{2}$

$g_{\phi \phi }=r^{2}sin^{2}\theta$

$g_{tt}=-B(r)$

Де функції $A(r)$ і $B(r)$ повинні бути визначенні шляхом розв'язування рівнянь поля. Так як $g_{\mu \nu }$ — діагональний тензор, легко написати ненульові компоненти тензора, оберненого до нього:

$g^{rr}=A^{-1}(r)$

$g^{\theta \theta }=r^{-2}$

$g^{\phi \phi }=r^{-2}sin^{-2}\theta$

$g^{tt}=-B^{-1}(r)$

Символи Крістофеля та тензор Річі

Афінна зв'язність може бути обчислена за звичайною формулою:

$\Gamma _{ij}^{s}={1 \over 2}\,g^{sk}\left(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}\right)$

Її ненульові компоненти виявляються рівними:

$\Gamma _{rr}^{r}={\frac {1}{2A(r)}}{\frac {dA(r)}{dx}}$,

$\Gamma _{\phi \phi }^{r}=-{\frac {rsin^{2}\theta }{A(r)}}$,

$\Gamma _{r\theta }^{\theta }=\Gamma _{\theta r}^{\theta }={\frac {1}{r}}$,

$\Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }={\frac {1}{r}}$,

$\Gamma _{\theta \theta }^{r}=-{\frac {r}{A(r)}}$,

$\Gamma _{tt}^{r}={\frac {1}{2A(r)}}{\frac {dB(r)}{dx}}$,

$\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }=-sin\theta cos\theta$,

$\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi \theta }^{\phi }=ctg\theta$,

$\Gamma _{tr}^{t}=\Gamma _{rt}^{t}={\frac {1}{2B(r)}}{\frac {dB(r)}{dx}}$,

Обчислимо також тензор Річчі. Він задається формулою

$R_{\sigma \nu }={R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }={\partial _{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}-\partial _{\nu }\Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \sigma }^{\lambda }.$

Підставляючи раніше отримані компоненти афінної звізності отримаємо:

$R_{rr}={\frac {B''(r)}{2B(r)}}-{\frac {1}{4}}{\frac {B'(r)}{B(r)}}\left({\frac {A'(r)}{A(r)}}+{\frac {B'(r)}{B(r)}}\right)-{\frac {1}{r}}{\frac {A'(r)}{A(r)}}$,

$R_{\theta \theta }=-1+{\frac {r}{2A(r)}}\left(-{\frac {A'(r)}{A(r)}}+{\frac {B'(r)}{B(r)}}\right)+{\frac {1}{A(r)}}$,

$R_{\phi \phi }=sin^{2}\theta R_{\theta \theta }$,

$R_{tt}={\frac {B''(r)}{2A(r)}}-{\frac {1}{4}}{\frac {B'(r)}{A(r)}}\left({\frac {A'(r)}{A(r)}}+{\frac {B'(r)}{B(r)}}\right)-{\frac {1}{r}}{\frac {B'(r)}{A(r)}}$,

(Штрих тепер означає диференціювання по $r$ ). Висновок про те що $R_{\theta r},R_{\theta \phi },R_{\phi r},R_{\phi t},R_{\theta t}$ щезають і про те що $R_{\phi \phi }=sin^{2}R_{\theta \theta }$ є наслідком інварінтності метрики відностно поворотів. Рівність нулю $R_{tr}$ пов'язано з тим що ми встановили наш годинник так що метрика виявилась інваріантина відносно обернення часу $t\leftrightarrow -t$.

---

Частковим випадком статичної ізотропної метрики є Метрика Шварцшильда, на випадок порожнього(нічим не заповненого) простору часу.

Література

• Вайнберг, «Гравитация и космология».