Стала Портера

У математиці стала Портера $C$ виникає при дослідженні ефективності алгоритму Евкліда. Вона названа на честь Дж. В. Портера з Кардіффського університету.

Алгоритм Евкліда знаходить найбільший спільний дільник двох натуральних чисел $m$ і $n$. Ханс Гейльбронн довів, що середня кількість ітерацій алгоритму Евкліда для фіксованого $n$ і усереднена за всіма виборами відносно взаємно простих чисел $m<n$ дорівнює

${\frac {12\ln 2}{\pi ^{2}}}\ln n+o(\ln n).$

Портер показав, що залишковий член у цій оцінці є константою, плюс поліноміально мала похибка. У свою чергу Дональд Кнут оцінив цю константу з високою точністю:

${\begin{aligned}C&={{6\ln 2} \over {\pi ^{2}}}\left[3\ln 2+4\gamma -{{24} \over {\pi ^{2}}}\zeta '(2)-2\right]-{{1} \over {2}}\\[6pt]&={{{6\ln 2}((48\ln A)-(\ln 2)-(4\ln \pi )-2)} \over {\pi ^{2}}}-{{1} \over {2}}\\[6pt]&=1{,}4670780794\ldots ,\end{aligned}}$

де $\gamma$ — стала Ейлера—Маскероні, $\zeta$ — дзета-функція Рімана, $A$ — стала Глейшера–Кінкеліна.

Дивись послідовність A086237 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS:

$-\zeta ^{\prime }(2)={{\pi ^{2}} \over 6}\left[12\ln A-\gamma -\ln(2\pi )\right]=\sum _{k=2}^{\infty }{{\ln k} \over {k^{2}}}.$

${\displaystyle }$

Див. також

• Теорема Лохса
• Константа Леві