Теорема Рао — Блеквела
Теорема Рао — Блеквела — твердження в математичній статистиці на основі якого можна покращувати статистичні оцінки параметрів.
Нехай послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин з розподілом, що залежить від деякого невідомого параметра Нехай — деяка статистична оцінка цього невідомого параметра зі скінченною матрицею других моментів, а — достатня статистика для параметра Тоді існує і крім того є найкращою оцінкою параметра в сенсі середньоквадратичного відхилення, тобто для будь-якого вектора z необхідної розмірності виконується нерівність:
![{\displaystyle \delta _{1}(X)={\textrm {E}}[\delta (X)|T(X)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd11079ad0dab1561b78dd15bf6f0480f07c9fd5)
![{\displaystyle z{\textrm {E}}[(\delta _{1}(X)-\theta )^{T}(\delta _{1}(X)-\theta )]z^{T}\leqslant z{\textrm {E}}[(\delta (X)-\theta )^{T}(\delta (X)-\theta )]z^{T}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d49d3bd190c12268fa81d8f3bcb5987f0b218ba)
Рівність виконується лише коли є вимірною функцією від T.
Доведення ред.
Доведення для випадку коли параметр є одним числом тобто його розмірність рівна одиниці. Тоді
![{\displaystyle \operatorname {E} [\delta _{1}(X)-\theta ]^{2}=\operatorname {E} \left[{\textrm {E}}(\delta (X)|T(X))-\theta \right]^{2}=\operatorname {E} \left[{\textrm {E}}(\delta (X)-\theta |T(X))\right]^{2}\leqslant \operatorname {E} \left[{\textrm {E}}((\delta (X)-\theta )^{2}|T(X))\right]=\operatorname {E} (\delta (X)-\theta )^{2}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9710381b86e0ea979f790049175f161e87b9e528)
Нерівність випливає з того, що для будь-якої випадкової величини W, якщо взяти Звідси також бачимо, що рівність виконується лише коли тобто коли приймає одне значення для кожного значення T, тобто є функцією від T.
![{\displaystyle \operatorname {var} W=\operatorname {E} W^{2}-(\operatorname {E} W)^{2}]\geqslant 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b0fb588539a74ef43f042307ffc8ad3da9765b8)
Див. також ред.
Джерела ред.
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
- Lehmann, E. L.; Casella, G. (1998). Theory of Point Estimation (2nd ed.). Springer. Chapter 4. ISBN 0-387-98502-6.