Міра Жордана
Міра Жордана — один із способів формалізації поняття довжини, площі і -вимірного об'єму в -вимірному евклідовому просторі.
Побудова ред.
Міра Жордана , добутку напівінтервалів в визначається як добуток
Для обмеженої множини визначаються:
- зовнішня міра Жордана
- внутрішня міра Жордана
- , якщо
де — паралелепіпеди описаного вище виду.
Множина називається вимірною за Жорданом, якщо . В цьому випадку міра Жордана дорівнює .
Властивості ред.
- Міра Жордана інваріантна щодо рухів евклідового простору.
- Обмежена множина вимірна за Жорданом тоді і тільки тоді, коли її границя має міру Жордана рівну нулю.
- Зовнішня міра Жордана для рівна зовнішній мірі Жордана для (замикання множини ) і рівна мірі Бореля .
- Вимірні за Жорданом множини утворюють кільце множин, на якому міра Жордана є скінченно-адитивною функцією.
Вимірні і невимірні за Жорданом множини ред.
Усі прямокутники, кулі, симплекси є вимірними за Жорданом. Простим прикладом не вимірної за Жорданом множини є множина раціональних чисел. Зовнішня міра Жордана цієї множини дорівнює 1, а внутрішня дорівнює нулю.
Література ред.
- Peano G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887. (італ.)
- Jordan C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99. (фр.)