Критерій Кона

Критерій Кона — ознака незвідності многочлена в кільці многочленів $\mathbb {Z} [x]$.

Ознаку можна сформулювати так:

Якщо просте число $p$ в десятковій системі числення записується як $p=a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\dots +a_{1}10+a_{0}$ (де $0\leq a_{i}\leq 9$) тоді многочлен

$f(x)=a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}$

є незвідним в $\mathbb {Z} [x]$.

Теорему можна узагальнити для довільної системи числення:

Нехай $b\geq 2$ натуральне число $p(x)=a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}$ — многочлен з коефіцієнтами $0\leq a_{i}\leq b-1$. Якщо $p(b)$ — просте число тоді $p(x)$ є незвідним в $\mathbb {Z} [x]$.

Версія твердження для десяткової системи вперше згадується в книзі , узагальнення для довільної системи числення довели Бріліант, Філасета і Одлижко .

Вимога, що коефіцієнти многочленів мають задовольняти нерівності $0\leq a_{i}\leq b-1$ є важливою. Наприклад для десяткової системи числення маємо:

$10^{3}-9\cdot 10^{2}-9\cdot 10+1=11$ є простим але:

$x^{3}-9x^{2}-9x+1=(x+1)(x^{2}-10x+1)\,$

Див. також

• Критерій Ейзенштейна

Посилання

Murty, Ram (2002). Prime Numbers and Irreducible Polynomials. American Mathematical Monthly. 109 (5): 452—458. doi:10.2307/2695645. Архів оригіналу за 18 січня 2010. Процитовано 24 лютого 2010. (dvi file)