Квадратура круга

Квадратура круга — задача, що полягає в побудові за допомогою циркуля та лінійки квадрата, рівновеликого за площею до заданого круга.

Круг і квадрат однакової площі

Поруч із трисекцією кута та подвоєнням куба, є однією із найвідоміших задач, які неможливо розв'язати циркулем та лінійкою.

Нерозв'язність

Якщо взяти за одиницю вимірювання радіус кола й позначити x довжину сторони шуканого квадрата, то задача зводиться до розв'язання рівняння: $x^{2}=\pi$, звідки: $x={\sqrt {\pi }}$. Як відомо, за допомогою циркуля та лінійки можливо виконати всі 4 арифметичні дії та добування квадратного кореня; звідси виходить, що квадратура круга можлива тоді й тільки тоді, коли за допомогою скінченного числа дій можна побудувати відрізок довжини $\pi$. Отож нерозв'язність цієї задачі випливає з неалгебричності (трансцендентності) числа $\pi$, що довів 1882 року Ліндеман.

Однак нерозв'язність слід розуміти як нерозв'язність із застосуванням тільки циркуля та лінійки. Якщо крім циркуля та лінійки застосовувати інші засоби (наприклад, квадратрису), задача стає розв'язною.

Приблизний розв'язок

У задане коло вписується квадрат. До потроєного діаметра кола додається п'ята частина сторони цього квадрата. Довжина відрізка відрізняється від довжини кола менше, ніж на $1/17000$.

Метафора «Квадратура круга»

Математичне доведення неможливості квадратури круга не заважало багатьом ентузіастам витрачати роки на розв'язання проблеми. Марність досліджень квадратури круга перенесла цей вираз у багато інших галузей, де він просто позначає безнадійне, безглузде або марне починання.

Див. також

• Квадратриса
• Побудова за допомогою циркуля та лінійки
• Трисекція кута
• Подвоєння куба

Література

• Прасолов В. В.. Три класичні задачі на побудову. Подвоєння куба, трисекція кута, квадратура кола. [Архівовано 9 Грудня 2008 у Wayback Machine.] М.: Наука, 1992. 80 с. Серія «Популярні лекції з математики», випуск 62.