Квадратриса

Квадратриса — плоска трансцендентна крива, що визначається кінематично. Винайдена софістом Гіппієм (V століття до н. е.), використовувалась в античні часи для розв'язання задач квадратури круга та трисекції кута.

Рис. 1. Кінематичне визначення квадратриси

Кінематичне визначення

Розглянемо квадрат $ABCD$ (рис. 1), в який вписано сектор чверті круга. Нехай точка $E$ рівномірно рухається по дузі від точки $D$ до точки $B$; одночасно відрізок $A'B'$ рівномірно рухається з позиції $DC$ в позицію $AB$. Нарешті, вимагатимемо, щоб обидва рухи завершилися одночасно. Тоді точка перетину радіуса $AE$ та відрізка $A'B'$ опише квадратрису (позначена червоним).

Рівняння кривої

Рис. 2. Квадратриса

• В полярних координатах:

$\rho ={\frac {2R}{\pi }}{\frac {\varphi }{\sin \varphi }}.$

Виведення

Виведемо рівняння квадратриси у полярних координатах. Нехай $R$ — радіус кола, $\varphi$ — поточний кут $FAG$, $\rho =AF$ — полярний радіус. Для зручності введемо час $t$, який за період руху зміняватиметься з 0 до 1. Тоді рівномірний рух точки $E$ по дузі довжиною $\textstyle {\frac {\pi }{2}}$ можна виразити рівнянням: $\varphi ={\frac {\pi }{2}}\cdot (1-t).$ Рівномірний рух відрізка $A'B'$ виразиться рівнянням: $A'A=\rho \sin \varphi =(1-t)R$ Виключаючи з рівнянь $1-t$, отримаємо остаточно: $\rho ={\frac {2R\varphi }{\pi \sin \varphi }}.$

• в прямокутних координатах можна записати рівняння квадратриси в наступному вигляді:

$x=y\,\operatorname {ctg} {\frac {\pi y}{2R}}$

Виведення

Приводимо рівняння в полярних координатах до наступного стану: $\rho \sin \varphi ={\frac {2R}{\pi }}\varphi$ Врахувавши $\rho \sin \varphi =y$, отримаємо $y={\frac {2R}{\pi }}\varphi$ Із геометричних міркувань: $\textstyle \varphi =\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}$. Тоді рівняння постане у вигляді: ${\frac {\pi y}{2R}}=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}$ Беремо тангенс обох частин: $\operatorname {tg} {\frac {\pi y}{2R}}={\frac {y}{x}}$ тобто $x=y\,\operatorname {ctg} {\frac {\pi y}{2R}}$

Трисекція кута

Трисекція кута, тобто поділ довільного кута на три рівні частини, за допомогою квадратриси здійснюється елементарно. Нехай $EAB$ (рис. 1) — деякий кут, третину якого треба побудувати. Алгоритм поділу наступний:

1. Знаходимо точку $F$ на квадратрисі і її ординату $A'$.
2. Відкладаємо на відрізку $AA'$ його третю частину; отримаємо точку $H$.
3. Знаходимо на квадратрисі точку $K$ з ординатою $H$.
4. Проводимо промінь $AK$. Кут $KAB$ — шуканий.

Доведення даного алгоритму витікає з рівномірності обох рухів, що утворюють квадратрису.

Очевидно також, що аналогічними діями можна поділити кут на будь-яке число рівних частин.

Квадратура круга

Рис. 3. Квадратура круга

Тут завдання ставиться таким чином: побудувати квадрат з такою самою площею, як у заданого круга радіуса $R$. Алгебраїчно це означає рішення рівняння : $x^{2}=\pi R^{2}$.

Побудуємо для початкового круга квадратрису, як на рис. 1. Можна показати, що абсциса $AG$ її нижньої точки дорівнює ${\frac {2R}{\pi }}$. Відобразимо це у вигляді пропорції: $C:2R=2R:AG$, де $C=2\pi R$ — довжина кола. Наведене співвідношення дозволяє побудувати відрізок довжини $C$. Прямокутник із сторонами $R$ і $C/2$ буде мати потрібну площу, а побудувати рівновеликий йому квадрат — справа неважка.

Див. також

• Дінострат
• Квадратура круга
• Трисекція кута

Посилання

• Quadratrix of Hippias [Архівовано 4 лютого 2012 у Wayback Machine.] на MacTutor archive.
• Quadratrix of Hippias на Convergence.