Квадратриса — плоска трансцендентна крива, що визначається кінематично. Винайдена софістом Гіппієм (V століття до н. е.), використовувалась в античні часи для розв'язання задач квадратури круга та трисекції кута.

Рис. 1. Кінематичне визначення квадратриси

Кінематичне визначенняРедагувати

Розглянемо квадрат   (рис. 1), в який вписано сектор чверті круга. Нехай точка   рівномірно рухається по дузі від точки   до точки  ; одночасно відрізок   рівномірно рухається з позиції   в позицію  . Нарешті, вимагатимемо, щоб обидва рухи завершилися одночасно. Тоді точка перетину радіуса   та відрізка   опише квадратрису (позначена червоним).

Рівняння кривоїРедагувати

 
Рис. 2. Квадратриса
 
 

Трисекція кутаРедагувати

Трисекція кута, тобто поділ довільного кута на три рівні частини, за допомогою квадратриси здійснюється елементарно. Нехай   (рис. 1) — деякий кут, третину якого треба побудувати. Алгоритм поділу наступний:

  1. Знаходимо точку   на квадратрисі і її ординату  .
  2. Відкладаємо на відрізку   його третю частину; отримаємо точку  .
  3. Знаходимо на квадратрисі точку   з ординатою  .
  4. Проводимо промінь  . Кут   — шуканий.

Доведення даного алгоритму витікає з рівномірності обох рухів, що утворюють квадратрису.

Очевидно також, що аналогічними діями можна поділити кут на будь-яке число рівних частин.

Квадратура кругаРедагувати

 
Рис. 3. Квадратура круга

Тут завдання ставиться таким чином: побудувати квадрат з такою самою площею, як у заданого круга радіуса  . Алгебраїчно це означає рішення рівняння :  .

Побудуємо для початкового круга квадратрису, як на рис. 1. Можна показати, що абсциса   її нижньої точки дорівнює  . Відобразимо це у вигляді пропорції:  , де   — довжина кола. Наведене співвідношення дозволяє побудувати відрізок довжини  . Прямокутник із сторонами   і   буде мати потрібну площу, а побудувати рівновеликий йому квадрат — справа неважка.

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати