Рівняння в повних диференціалах

Рівняння в повних диференціалах (англ. exact differential equation, total differential equation) — різновид звичайного диференціального рівняння, який широко використовується в фізиці і інженерії.

ВизначенняРедагувати

Маємо однозв'язну область і відкриту підмножину D в R2 і дві неперервні в D функції I та J, тоді неявне звичайне диференціальне рівняння першого порядку у вигляді

 

називають Рівняння в повних диференціалах, якщо існує неперервно-диференційовна функція F, яку звуть функція потенціалу, така що

 

і

 

Назва «рівняння в повних диференціалах» стосується повної похідної функції. Для функції  , повна похідна щодо   така

 

ПрикладРедагувати

Функція

 

є функцією потенціалу для диференціального рівняння

 

Існування функції потенціалуРедагувати

У фізичних застосуваннях функції I та J зазвичай не тільки неперервні, але й неперервно-диференційовні. Теорема Шварца надає нам необхідний критерій існування функції потенціалу. Для диференціальних рівнянь на однозв'язній множині критерій також достатній і ми отримуємо така теорему:

Диференціальне рівняння у формі:

 

де I та J неперервно-диференційовні на однозв'язній і відкритій підмножині D в R2, тоді функція потенціалу F існує тоді і тільки тоді

 

ПосиланняРедагувати