Пі-теорема Букінгема

Пі-теорема Букінгема — це ключова теорема в аналізі розмірностей. Це формалізація методу аналізу розмірностей Релея. Вільно кажучи, теорема стверджує, що якщо рівняння включає певну кількість n фізичних змінних, тоді початкове рівняння можна переписати за допомогою множини з p = n - k безрозмірнісних параметрів π1, π2, ..., πp сконструйованих з початкових змінних. (Тут k — це кількість залучених фізичних розмірностей; її обчислюють як ранг спеціальної матриці.)

Теорему можна розглядати як схему знерозмірнення, бо вона надає метод для обчислення множини безромірнісних параметрів з заданих змінних, навіть якщо форма рівняння все ще невідома.

ТвердженняРедагувати

Більш формально, кількість безрозмірнісних членів, які можна утворити, p, дорівнює вимірності ядра матриці розмірностей, а k — це її ранг. Для експериментальних цілей, різні системи, що мають однаковий опис мовою цих безрозмірнісних фізичних величин — тотожні.

Викладаючи математично, якщо ми маємо фізично значиме рівняння таке як

 

де qi — це n фізичних змінних і вони виражені через k незалежних фізичних одиниць, тоді попереднє рівняння можна переформулювати як

 

де πi — це безрозмірнісні параметри, утворені з qi використовуючи p = nk безрозмірнісних рівнянь — так званих Пі груп — у вигляді

 

де показники ai — це раціональні числа (їх завжди можна перевизначити як цілі, піднесши πi до степеня, так щоб позбутись знаменника).

ДоведенняРедагувати

НарисРедагувати

Припустимо, що простір фундаментальних і похідних фізичних величин формує векторний простір над раціональними числами, де фундаментальні величини виявляють себе як базисні вектори, а добуток фізичних величин проявляється як векторне додавання і піднесення до степеня як множення на скаляр. Цей простір представляє розмірності як множину показників, необхідних для фундаментальних величин (якщо степінь нульова, то ця фундаментальна величина відсутня). Наприклад, стандартне гравітаційне прискорення g має одиниці  , отже, воно представлене як вектор   щодо базису фундаментальних одиниць (відстань, час).

Прирівнювання фізичних величин у множині фізичних рівнянь можна розглядати як накладання лінійних обмежень у векторному просторі фізичних величин.

Формальне доведенняРедагувати

Маючи систему з n розмірнісних змінних (з фізичними розмірностями) в k фундаментальних (базисних) розмірностях, запишемо матрицю розмірностей M, чиї рядки це фундаментальні розмірності і чиї стовпчики це розмірності змінних: (ij)-й елемент — це степінь i-ї фундаментальної розмірності в j-й змінній. Отже,

 

це фізичні одиниці величини

 

Безрозмірнісна змінна — це величина з фундаментальними розмірностями, піднесеними в нульовий степінь (нульовий вектор векторного простору фундаментальних розмірностей), що те саме, що ядро цієї матриці.

Система з n векторів (стовпчиків) з k лінійно незалежними рядками (ранг матриці — це кількість фундаментальних розмірностей) має ступінь виродженності, p, що задовольняє (p = n − k), де ступінь виродженності — це кількість стовпчиків/змінних, які можна зробити безрозмірнісними.

Безрозмірнісні змінні можна завжди обрати цілочисельними комбінаціями розмірнісних змінних. Не існує природного математичного вибору безрозмірнісних змінних; деякі варіанти безрозмірнісних змінних більш фізично значимі, і найкраще використовувати саме їх.

ПрикладиРедагувати

ШвидкістьРедагувати

Цей приклад елементарний, але підходить для демонстрації процедури.

Припустімо, що автівка рухається зі швидкістю 100 км/г; скільки їй потрібно часу, щоб подолати 200 км?

Це питання розглядає три розмірнісних змінних: відстань d, час t і швидкість v, і ми шукаємо деякий закон у вигляді t = Тривалість(v, d) . Ці змінні допускають двовимірний базис: час T і відстань D. Таким чином, існує 3 − 2 = 1 безрозмірнісних величин.

Матриця розмірностей:

 

Тут рядки відповідають базисним розмірностям D і T, а стовпчики розмірностям D, T і V, де остання позначає розмірність швидкості. Елементи матриці відповідають степеням, до яких відповідні розмірності треба піднести. Наприклад, третій стовпчик (1, −1), каже, що V = D0T0V1, представлене вектором стовпчиком  , представне в термінах базисних розмірностей як  , бо  .

Для безромірнісної сталої  , ми шукаємо вектори   такі, що матрично-векторний добуток Ma дорівнює нульовому вектору [0,0]. В лінійній алгебрі, множина векторів з такою властивістю відома як ядро матриці, в нашому випадку матриці розмірностей. Тут це ядро одновимірне. Матриця розмірностей як записана вище вже є в скороченій рядковій формі, отже ми можемо просто зчитати ненульовий вектор з ядра з точністю до сталого множника:

 

Якщо матриця розмірностей була б не у скороченій формі, то можна було б використати метод Гауса. Отже, безрозмірнісна стала має вигляд:

 

З того, що ядро визначене з точністю до сталого множника, наведена безрозмірнісна стала піднесена до довільного степеня дає іншу (тотожну) безрозмірнісну сталу.

Аналіз розмірностей надав загальне рівняння, що пов'язує три фізичні змінні:

 

або, дозволяючи   позначати корінь функції  ,

 

що можна записати як

 

Справжній зв'язок між трьома змінними це просто  . Інакше кажучи, в цьому випадку   має фізично значимий корінь і це одиниця. Факт того, що лише одне значення C підходить і, що це 1 не відкривається за допомогою техніки аналізу розмірностей.

Простий маятникРедагувати

Ми бажаємо визначити період T малих коливань простого маятника. Ми припускаємо, що це функція довжини L, маси M і прискорення g, яке має розмірність довжини поділеній на квадрат часу. Модель має форму

 

В цьому рівнянні наявні три фундаментальні фізичні розмірності: час  , маса   і довжина  , а також 4 розмірнісні змінні, T, M, L і g. Отже нам потрібен лише 4 − 3 = 1 безрозмірнісний параметр π. Модель можна виразити як

 

де π заданий так

 

для деяких значень a1, ..., a4.

Розмірності розмірнісних величин такі:

 

Матриця розмірностей:

 

(Рядки відповідають розмірностям   і  , а стопчики розмірнісним змінним T, M, L і g. Наприклад, 4-й стовпчик, (−2, 0, 1), говорить, що g має розмірність  .)

Ми шукаємо вектор ядра a = [a1a2a3a4] такий, що матричний добуток M на a дає нульовий вектор [0,0,0]. Матриця розмірностей наведена вище вже перебуває в скороченій рядковій формі, тому ми можемо зчитати вектор ядра з точністю до сталого множника:

 

Безрозмірнісну сталу можна записати як:

 

Або в базисних розмірностях:

 

маємо безрозмірнісний результат.

Цей приклад простий, бо три розмірнісні величини — це фундаментальні одиниці, отже остання (g) — це комбінація попередніх. Зауважимо, що якщо б a2 було ненульовим, тоді ми не змогли б скоротити значення M; звідси a2 мусить бути нулем. Аналіз розмірностей дозволив нам заключити, що період маятника не залежить від маси. (В 3D просторі степенів маси, часу і відстані ми можемо скзати, що вектор маси лінійно незалежить від векторів трьох інших змінних. З точністю до сталого множника,   — це єдиний нетривіальний спосіб утворити безрозмірнісний параметр.)

Тепер модель можна виразити як:

 

Припускаючи, що корені f дискретні, можна сказати, що gT2/L = Cn, де Cn — n-й корінь функції f. Якщо існує лише один корінь, тоді gT2/L = C. Необхідно більше фізичної прозорливості, що показати, що дійсно існує лише один корінь і, що стала така C = 4π2.

Для великих коливань маятника, аналіз ускладнюється додатковим безрозмірнісним параметром, найбільший кут відхилення. Наведений вище аналіз — це хороше наближення коли коли кут близький до нуля.

Див. такожРедагувати