Ідеал (порядок)

Ідеал — в теорії порядку, підмножина I частково впорядкованої множини (P,≤), для якої виконуються умови:

1. Для довільних x ∈ I, y ∈ P, якщо y ≤ x, то y ∈ I (нижня множина)
2. Для довільних x, y ∈ I існує z ∈ I, такий, що x ≤ z та y ≤ z (спрямована вверх множина)

Для ґраток визначення ідеалу перефразовується так:

підмножина I ґратки (P,≤) є ідеалом тоді і тільки тоді, коли нижня множина замкнута відносно операції join, тобто, для довільних x, y ∈ I, елемент x$\vee$y ∈ I.

Ідеал — поняття двоїсте до фільтра.

Простий ідеал

Простий ідеал — ідеал, доповненням якого є фільтр.

Максимальний ідеал

Максимальний ідеал — ідеал, для якого не існує більшого ідеала.

Дивись також

• Ідеал (алгебра)
• Фільтр (порядок)
• Теорема про булеві прості ідеали

Джерела

• Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)