Верхня множина

Верхня множина (замкнена вверх множина) — підмножина $S$ частково впорядкованої множини $(P,\leq )$, яка задовольняє умову:

Верхня множина

$\forall x\in S,y\in P:\quad x\leq y\Rightarrow y\in S.$

Двоїстим поняттям є — нижня множина.

Властивості

Булеан множини $\{1,2,3,4\}.$ верхня множина $\uparrow \{1\}$ позначена зеленим. Вона є простим фільтром.

• Перетин верхніх множин є верхньою множиною.
• Доповнення верхньої множини є нижньою множиною і навпаки.
• Сімейство всіх нижніх множин (верхніх множин) впорядкованих за включенням утворює повну ґратку.
• Найменша верхня множина підмножини Y позначається ↑Y.

Див. також

• Спрямована множина
• Антиланцюг
• Ідеал (порядок)
• Фільтр (порядок)

Джерела

• Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)