Повнократне число

Повнократне число — додатне ціле число, яке ділиться без остачі квадратом кожного свого простого дільника .

Еквівалентне визначення: число, яке пожна подати у вигляді $a^{2}b^{3}$, де $a$ і $b$ — додатні цілі числа (натуральні числа).

Повнократні числа систематично вивчені Палом Ердеш і Дьйордем Секерешем, назву дав Соломон Ґоломб.

Список повнократних чисел між 1 і 1000  :

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972 1000.

Еквівалентність двох визначень

Якщо $m=a^{2}b^{3}$, то будь-яке просте в розкладі $a$ входить двічі, а в $b$ — не менше трьох разів; так що будь-яке просте в розклад $m$ входить не менше, ніж у квадраті.

З іншого боку, нехай $m$ — повнократне число з розкладом

$m=\prod p_{i}^{\alpha _{i}}$ ,

де кожне $\alpha _{i}\geq 2$ . визначимо $\gamma _{i}$ рівним трьом, якщо $\alpha _{i}$ непарне, і нулю в іншому випадку, і визначимо $\beta _{i}=\alpha _{i}-\gamma _{i}$ . Тоді всі значення $\beta _{i}$ є невід'ємними парними цілими, і всі значення $\gamma _{i}$ або дорівнюють нулю, або трьом, так що:

$m=(\prod p_{i}^{\beta _{i}})(\prod p_{i}^{\gamma _{i}})=(\prod p_{i}^{\beta _{i}/2})^{2}(\prod p_{i}^{\gamma _{i}/3})^{3}$

дає шукане подання $m$, як добуток квадрата і куба.

Іншими словами, для даного розкладу числа $m$ можна взяти як $b$ добуток простих множників, що входять у розклад з непарними степенями (якщо таких немає, то 1). Оскільки $m$ — повнократне, кожен простий множник, що входить у розклад з непарним степенем, має степінь не менше 3, так що $m/b^{3}$ є цілим. Тепер кожен простий множник $m/b^{3}$ має парний степінь, так що $m/b^{3}$ — повний квадрат, позначимо його як $a^{2}$; і виходить $m=a^{2}b^{3}$ . Наприклад:

$m=21600=2^{5}\times 3^{3}\times 5^{2}$ ,

$b=2\times 3=6$ ,

$a={\sqrt {\frac {m}{b^{3}}}}={\sqrt {2^{2}\times 5^{2}}}=10$ ,

$m=a^{2}b^{3}=10^{2}\times 6^{3}$ .

Математичні властивості

Сума обернених величин повнократних чисел сходиться:

$\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)$ ,

де $p$ — обходить всі прості числа, $\zeta (s)$ — дзета-функція Рімана, і $\zeta (3)$ — стала Апері (Голомб, 1970).

Нехай $k(x)$ означає кількість повнократних чисел в інтервалі $[1,x]$. Тоді $k(x)$ пропорційне квадратному кореню з $x$. Точніше:

$cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2,173\cdots$ .

Два найменших послідовних повнократних числа — це 8 і 9. Оскільки рівняння Пелля $x^{2}-8y^{2}=1$ має нескінченне число розв'язків, то є й нескінченне число пар послідовних повнократних чисел.

Більш загально, можна знайти послідовні повнократні числа, знайшовши розв'язок рівняння, схожого на рівняння Пелля, $x^{2}-ny^{2}=\pm 1$ для будь-якого куба $n$. Проте одне з повнократних чисел у парі, отриманій таким чином, має бути квадратом. Згідно з Гаю, Ердеш ставив питання, чи нескінченне число пар повнократних чисел, аналогічних $(23^{3},2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 13^{2})$, у яких жодне з чисел у парі не є квадратом. Ярослав Вроблевський показав, що, навпаки, є нескінченно багато таких пар, показавши, що $3^{3}c^{2}+1=7^{3}d^{2}$ має нескінченно багато розв'язків.

Відповідно до гіпотези Ердеша — Молліна — Волша, не існує трьох послідовних повнократних чисел.

Суми і різниці повнократних чисел

Будь-яке непарне число можна подати у вигляді різниці двох послідовних квадратів:

$(k+1)^{2}=k^{2}+2k+1\Rightarrow (k+1)^{2}-k^{2}=2k+1$ .

Так само, будь-яке число кратне чотирьом можна подати у вигляді різниці двох чисел, що відрізняються на два: $(k+2)^{2}-k^{2}=4k+4$ . Однак число, що ділиться на два, але не на чотири, не можна подати у вигляді різниці квадратів, тобто виникає питання: які парні числа, що не діляться на 4, можуть бути подані у вигляді різниці двох повнократних чисел.

Голомб дав кілька таких подань:

2 = 3³ — 5²

10 = 13³ — 3⁷

18 = 19² — 7³ = 3² (3³ — 5^2).

Спочатку висловлена гіпотеза, що число 6 можна подати в такому вигляді, і Голомб припустив, що є нескінченно багато цілих чисел, які можна подати у вигляді різниці двох повнократних чисел. Однак Нарківіч виявив, що існує нескінченно багато способів подання числа 6, наприклад

6 = 5⁴7³ — 463²,

і Макденіел показав, що будь-яке число має нескінченну кількість таких подань.

Ердеш висловив гіпотезу, що будь-яке досить велике ціле число є сумою максимум трьох повнократних чисел. Гіпотезу довів Роджер Хіт-Браун.

Узагальнення

$k$ -повнократні числа — числа, в розклад яких прості числа входять зі степенем, не меншим ніж $k$ .

$(2^{k+1}-1)^{k}$, $2^{k}(2^{k+1}-1)^{k}$, $(2^{k+1}-1)^{k+1}$ є $k$ -повнократними в арифметичній прогресії.

Більше того, якщо $a_{1},a_{2},\dots ,a_{s}$ є $k$-повнократнимв в арифметичній прогресії з різницею $d$, то:

$(a_{1}+d)^{k},a_{2}(a_{s}+d)^{k},\dots ,a_{s}(a_{s}+d)^{k},a_{s}(a_{s}+d)^{k+1}$

є $k$-повнократними числами в арифметичній прогресії.

Для $k$ — повнократних чисел має місце:

$a^{k}(a^{l}+\dots +1)^{k}+a^{k+1}(a^{l}+\dots +1)+\dots +a^{k+l}(a^{l}+\dots +1)=a^{k}(a^{l}+\dots +1)^{k+1}$ .

Ця рівність дає нескінченно багато наборів довжини $l+1$$k$ — повнократних чисел, суми яких теж $k$-повнократнв. Нітадж показав, що є нескінченно багато розв'язків рівняння $x+y=z$ серед взаємно простих 3-повнократних чисел. Кон сконструював нескінченне сімейство розв'язків рівняння $x+y=z$ серед взаємно простих 3-повнократних чисел: трійка

$X=9712247684771506604963490444281$ ,

$Y=32295800804958334401937923416351$ ,

$Z=27474621855216870941749052236511$

є розв'язком рівняння $32X^{3}+49Y^{3}=81Z^{3}$ .

Можливо сконструювати інший розв'язок, поклавши $X'=X(49Y^{3}+81Z^{3}),Y'=-Y(32X^{3}+81Z^{3}),Z'=Z(32X^{3}-49Y^{3})$ і прибираючи спільний дільник.

Література

• Cohn, J. H. E. A conjecture of Erdős on 3-powerful numbers // Math. Comp. — 1998. — Т. 67, вип. 221. — С. 439—440. — DOI:10.1090/S0025-5718-98-00881-3.
• Pál Erdős, György Szekeres. Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem // Acta Litt. Sci. Szeged. — 1934. — № 7. — С. 95—102.
• Solomon W. Golomb. Powerful numbers // American Mathematical Monthly. — 1970. — Т. 77, № 8. — С. 848—852. — DOI:10.2307/2317020. — JSTOR 2317020}.
• Richard K. Guy. Section B16 // Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition. — Springer-Verlag, 2004. — ISBN 0-387-20860-7.
• Roger Heath-Brown. Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers. — Boston : Birkhäuser, 1988. — С. 137—163. — (Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7).
• Roger Heath-Brown. Sums of three square-full numbers. — Colloq. Math. Soc. János Bolyai, no. 51, 1990. — С. 163—171. — (Number Theory, I (Budapest, 1987)).
• Wayne L. McDaniel. Representations of every integer as the difference of powerful numbers // Fibonacci Quarterly. — 1982. — № 20. — С. 85—87.
• Abderrahmane Nitaj. On a conjecture of Erdős on 3-powerful numbers // Bull. London Math. Soc.. — 1995. — Т. 4, № 27. — С. 317—318. — DOI:10.1112/blms/27.4.317.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Powerful number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• The abc conjecture