Оператор повного моменту

Опера́тор по́вного моме́нту квантовомеханічної частки ${\hat {\mathbf {J} }}$ визначається як сума оператора кутового моменту й оператора спіну

${\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {L} }}+{\hat {\mathbf {S} }}$

В цій формулі оператори кутового моменту й спіну системи можуть бути сумою відповідних операторів складових частин.

В залежності від сумарного спіну системи повний момент може бути цілим і напівцілим.

Власні значення й власні вектори

Оскільки оператори спіну й кутового моменту діють на різні змінні, то вони комутують між собою. У такому випадку оператор повного моменту й оператори кутового моменту й спіну мають спільну систему власних функції.

Для z-вої компоненти оператора повного моменту матимемо

$m_{j}=m_{l}+m_{s}\!$

У випадку, коли орбітальне квантове число дорівнює l, а спінове квантове число s, можна побудувати (2l+1)(2s+1) добутків власних функцій із різними магнітними числами m_l і m_s. Ці функції зручно згрупувати таким чином, щоб визначити квантове число повного моменту j, яке може приймати значення від l+s до |l-s|. Для кожного j квантове число m_j пробігає значення -j, -j+1, … j-1, j.

Власні функції оператора повного моменту є добутками власних функцій операторів кутового моменту й оператора спіну.

Наприклад, при l = 1 і s= 1/2, існує 3$\cdot$ 2 =6 різних комбінацій m_l (-1, 0,1) і m_s (−1/2, 1/2). Вони розбиваються на дві групи з j = 3/2 (m_j = −3/2, −1/2, 1/2, 3/2) та j = 1/2 (m_j = −1/2, 1/2).

Власне значення оператора квадрата повного моменту дорівнює j(j+1).

Закон збереження

Загалом при врахування релятивістських ефектів, які призводять до спін-орбітальної взаємодії z-ва компонетна оператора кутового моменту й оператора спіну не комутує із гамільтоніаном, тож власні значення цих операторів не є інтегралами руху. Зберігається лише повний момент, тобто j та m_j залишаються квантовими числами.