Повна група

Повна група ― група $G$, така що відображення $G\to Aut(G)$ є ізоморфізмом. Це відображення посилає елемент $g\in G$ в автоморфізм спряження $s_{g}:h\to ghg^{-1}$. Ін'єктивність цього відображення рівносильна тривіальності центра, а сюр'єктивність тому, що кожен автоморфізм є внутрішнім.

Прикладами є симетричні групи $S_{n}$ за $n\neq 2,6$ (теорема Гельдера); при цьому група $S_{2}=\mathbb {Z} _{2}$ має нетривіальний центр, а в групи $S_{6}$ існує зовнішній автоморфізм.

Автоморфізми простої групи утворюють майже просту групу, а автоморфізми неабелевої простої групи — повну групу.

Не будь-яка група, ізоморфна своїй групі автоморфізмів, є повною: необхідно, щоб ізоморфізм здійснювався відображенням спряження. Прикладом групи, для якої $G=Aut(G)$, але яка не є повною, є група діедра $D_{4}$.

Література

• Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6
• Rotman, Joseph J. (1994), An introduction to the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8 (розділ 7, зокрема теореми 7.15 і 7.17).

Посилання

• Joel David Hamkins: How tall is the automorphism tower of a group?