Відкрити головне меню

Плоский рух — рух матеріальної точки в межах двовимірної площини. Загалом такий рух можна звести до суперпозиції поступального руху та обертання. Прикладом плоского руху може бути обертання планет навколо Сонця в площині екліптики.

В декартовій системі координат плоский рух описується залежністю від часу двох змінних та . Ці дві залежності задають у параметричній формі траєкторію матеріальної точки.

Зміст

Полярна система координатРедагувати

Плоский рух можна розглядати в полярній системі координат.

Нехай   — це радіус-вектор з координатами  , де r і   залежать від часу.

Використовуючи одиничні вектори

 

у напрямку  , і

 

під прямим кутом до  , то перша і друга похідні положення будуть:

 
 

Похідна   задає швидкість віддалення матеріальної точки від початку координат, а похідна   визначає кутову швидкість.

Відцентрова та коріолісова складовіРедагувати

Складова другої похідної   називається відцентровою, а   — коріолісовою. Вираз для другої похідної радіус-вектора, який містить ці члени, схожий на вирази для відцентрової та коріолісової сили, що діють у системах відліку, які обретаються. Слід зауважити, що математичному виразі немає жодного фізичного змісту.[1] Фізика відцентрової та коріолісової сил проявляються у неінерційних системах відліку. Ці складові, які з'являються, коли прискорення виражається у полярних координатах, є математичним наслідком диференцюювання, тобто вони виникають у будь-якому випадку, якщо використовувати полярні координати. Так, ці складові виникають навіть якщо використовувати полярні координати в інерційних системах відліку, де ефект дії коріолісової сили ніколи не проявляється.

Коротаційна система відлікуРедагувати

 
Інерційна система відліку S та миттєва неінерційна коротаційна система відліку S' . Коротаційна система обертається з кутовою швидкістю Ω, яка дорівнює швидкості обертання частинки навколо початкового положення S' у момент часу t. Положення частинки визначаєть радіус-вектором r(t) та одиничними векторами, які зображені у радіальному напрямку до частинки відносно початкового положення та збільшення кута θ перпендикулярні до радіального напрямку. Ці одиничні вектори необов'язково повинні бути дотичними або перпендикулярними до траєкторії. Також відстань по радіусу r необов'язково пов'язана з радіусом кривизни траєкторії.

Для частинки, яка здійснює плоский рух, існує один підхід, який дає фізичне трактування відцентровій та коріолісовій складовій — це поняття коротаційної системи відліку.[2] Щоб визначити таку систему, необхідно обрати систему, у якій визначена відстань r(t) до точки. Осі обертання обираються так, щоб вони були перпендикулярними до площини руху частинки і проходили через її початок. Тоді, у деякий момент часу t швидкість обертання коротаційної системи Ω обирається такою, щоб вона збігалася зі швидкістю обертання частинки dθ/dt навколо цієї осі. Далі, члени у прискоренні в інерційній системі відліку пов'язуються з тими, що у кортаційній системі. Нехай положення частинки в інерційний системі відліку визначається координатами (r(t), θ(t)), і у коротаційній (r(t), θ'(t)). Оскільки коротаційна система обертається з такою самою швидкістю, як і частинка, то dθ'/dt = 0. Уявна відцентрова сила у коротаційній системі mrΩ2 радіально спрямована назовні. Швидкість частинки у коротаційній системі також радіально спрямована назовні, оскільки dθ'/dt = 0, і має величину −2m(dr/dt)Ω, спрямована у напрямку θ. Таким чином, підставивши ці сили до запису другого закону Ньютона, отримаємо:

 

Крапочки над символом позначають диференціювання по часу. F — це сила, яка протидіє уявним силі Коріоліса та відцентровій силі. Розклавші ці рівняння на складові отримаємо:

 
 

які можна порівняти з рівняннями в інерційній системі відліку:

 
 

Оскільки коротаційна система у момент часу t обертається зі швидкістю Ω = dθ/dt, то у поєднанні з цим порівнянням ми можемо пояснити члени у прискоренні (помножені на масу частинки), які знайдені в інерційній системі відліку, як від'ємні відцентрова та коріолісова сили. Їх можна розпізнати у миттєвій неінерційній коротаційній системі.

В загальному випадку криволінійного руху частинки (на противагу простому випадку руху по колу) відцентрова та коріолісова сили у пов'язаній з частинкою системі відліку відносяться до уявного кола, до якого дотична швидкість частинки в певний момент часу. Центр цього кола не обов'язково збігається з початком координат.

ПосиланняРедагувати

  1. Кутова швидкість  , яка з'являється у виразі для полярних координат, описує частинку, тоді як у класичній ньютоновій механіці Ω — це кутова швидкість системи відліку.
  2. For the following discussion, see John R Taylor (2005). Classical Mechanics. University Science Books. с. §9.10, pp. 358-359. ISBN 1-891389-22-X. 

ДжерелаРедагувати

  • Яворський Б. М., Детлаф А. А., Лебедев А. К. Довідник з фізики для інженерів та студентів вищих навчальних закладів / Переклад з 8-го переробл. і випр. вид. — Т. : Навчальна книга — Богдан, 2007. — 1040 с. — ISBN 966-692-818-3.
  • Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — Т. I. Механика. — 560 с.