Ортогональна траєкторія

Ортогональні траєкторії — лінії, що перетинають задане сімейство кривих під прямим кутом. Якщо  — кутовий коефіцієнт дотичної до ортогональної траєкторії, а  — кутовий коефіцієнт дотичної до кривої даного сімейства, то і повинні в кожній точці відповідати умові ортогональності:

Нехай у нас є сімейство кривих , де  — константа. Тоді ортогональні траєкторії можуть бути знайдені шляхом розв'язку системи диференціальних рівнянь:

Використовуючи визначення градієнта, можна записати:

Таким чином:

ПрикладиРедагувати

 
Ортогональні траєкторії сімейства прямих ліній, що проходять через початок координат

Нехай у нас є сімейство прямих ліній, що проходять через початок координат, заданих рівнянням  . Диференціюючи дане рівняння по змінній  , отримуємо:

 

Виключимо параметр   із системи:

 

Замінимо   на  :

 

Ми отримали своєрідне диференціальне рівняння з перемінними. Інтегруючи, отримуємо:

 

Дане рівняння є ніщо інше, як рівняння кола радіуса  . Дійсно:

 

ЛітератураРедагувати

Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. (стор. 23, Приклад 8)

ПосиланняРедагувати