Обгортка (геометрія)

Обгортка сімейства кривих на площині — це крива, що в кожній своїй точці є дотичною хоча б до однієї кривої сімейства і кожним своїм відрізком дотична до нескінченної кількості кривих сімейства. Наприклад, будь-яка гладка крива, що не містить прямолінійних ділянок, буде обгорткою своїх дотичних.

Обгортка сімейства дотичних прямих.

Визначення

Нехай є сімейство гладких кривих $S=\{\gamma _{\alpha }\}$, залежне від параметру $\alpha$. Гладка крива $\gamma \in C^{1}$ буде обвідною сімейства S, якщо:

1. для кожної точки кривої $\gamma$ відповідає крива $\gamma _{\alpha }\in S$, дотична до $\gamma$ в цій точці,
2. для кожної кривої $\gamma _{\alpha }\in S$ відповідає точка на $\gamma$, в якій $\gamma _{\alpha }$ дотична до $\gamma$,
3. жодна крива сімейства S не має спільного відрізка з кривою $\gamma$.

Якщо сімейство кривих задано рівнянням $F(x,y,\alpha )=0$. Тоді обгортка сімейства кривих визначається системою

$\left\{{\begin{array}{ll}F(x,y,\alpha )&=0\\F_{\alpha }(x,y,\alpha )&=0\end{array}}\right.$

Приклади

• Для сімейства кіл однакового радіуса з центрами на прямій обвідна — це дві паралельні прямі.
• Астроїда є обвідною сімейства відрізків однакової довжини, кінці яких закріплені на двох взаємно-перпендикулярних прямих.
• Парабола є обвідною сімейства серединних перпендикулярів для відрізків, що з'єднують фіксовану точку (фокус параболи) та фіксовану пряму (директрису параболи).

Див. також

• Геометричне місце точок

Посилання

• Weisstein, Eric W. Envelope(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• «Enveloppe d'une Famille de Courbes Planes» at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Література

• Борисенко, О. А. Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995. — 304 с. — ISBN 5-7768-0388-8.
• Погорєлов О. В. Диференціальна геометрія. — М. : Наука, 1974. — 184 с. — ISBN 5-93972-068-4.