Відкрити головне меню

ДоведенняРедагувати

Перший спосіб: Нерівність середнього арифметичного та гармонійногоРедагувати

Із нерівності між середнім арифметичним і середнім гармонійним з  , маємо:

 

Звідси,

 

Відкривши дужки, отримаємо

  Звідси безпосередньо випливає необхідний результат.

Другий спосіб: ПерестановкиРедагувати

Нехай  . Отримаємо:

 

Визначимо:

 
 

З нерівності перестановок, скалярний добуток двох послідовностей є максимальним, якщо вони задані таким же чином, візьмемо   і   як вектор  , зсунутий на 1 і 2 відповідно. Маємо:

 
 

Додавши отримані нерівності, матимемо нерівність Несбіта.

Третій спосіб: Сімнадцята проблема ГільбертаРедагувати

Наступна тотожність виконується для всіх  

 

Очевидно, що ліва частина є не меншою за   для додатніх a,b та c.

Четвертий спосіб: Нерівність Коші-БуняковськогоРедагувати

Покладемо в нерівність Коші-Буняковського вектори   Отримаємо:

 

З чого легко випливає кінцевий результат, аналогічно з доведенням з використанням нерівності середнього арифметичного та гармонійного.

П'ятий спосіб: Нерівність середнього арифметичного та геометричногоРедагувати

Використаємо заміну Раві: нехай  . Потім, застосуємо нерівність середнього арифметичного та геометричного для набору з шести значень  :

 

Поділимо на  :

 

Підставивши   замість  , маємо:

 

Спростивши, отримаємо необхідний результат.

Шостий спосіб: Лема ТітуРедагувати

Лема Тіту, що є прямим наслідком із нерівності Коші-Буняковського, стверджує, що для довільної послідовності із   дійсних чисел   і довільної послідовності з   додатніх чисел  ,  . Візьмемо як послідовність     і як послідовність    :

 

Відкривши дужки і звівши подібні доданки, отримуємо:

  що спрощується до вигляду
 

З нерівності перестановок маємо, що  , і вираз у правій частині повинен бути не меншим за  . Таким чином,

 

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Arthur Lohwater (1982). Introduction to Inequalities. 
  • A. M. Nesbitt - Problem 15114, Educational Times 2, 1903
  • J. Michael Steele. The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. — Cambridge University Press, 2004. — P. 316. Exercise 5.6, page 84.

ПосиланняРедагувати