Нерівність Шапіро

Нерівність Шапіро запропонована Г. Шапіро 1954 року.

Заява про нерівність

Нехай n — натуральне число, а $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ — додатні числа, такі що:

• n парне і $n\leq 12$, або
• n непарне і $n\leq 23$.

Тоді Нерівність Шапіро стверджує, що

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}}\geq {\frac {n}{2}}$

де $x_{n+1}=x_{1},x_{n+2}=x_{2}$.

Для більших значень n нерівність не має^{[уточнити]} і сувора нижня межа дорівнює $\gamma {\frac {n}{2}}$, де $\gamma \approx 0.9891\dots$.

Початкові доведення нерівності в основних випадках $n=12$ (Годунова та Левін, 1976) та $n=23$ (Troesch, 1989) покладаються на чисельні розрахунки. 2002 року PJ Bushell та JB McLeod опублікували аналітичні доведення для $n=12$.

Значення γ було визначено 1971 року Володимиром Дрінфельдом, який виграв Медаль Філдса 1990 року. Окремо Дрінфельд показав, що точна нижня межа γ задана ${\frac {1}{2}}\psi (0)$, де ψ — функція опуклої оболонки $f\left(x\right)=e^{-x}$ і $g\left(x\right)={\frac {2}{e^{x}+e^{\frac {x}{2}}}}$ (Тобто область над графіком ψ є опуклою оболонкою об'єднання областей над графіками f і g).

Внутрішні локальні міміми лівої частини завжди $\geq {\frac {n}{2}}$ (Nowosad, 1968).

Контрприклади для більших n

Перший контрприклад був знайдений Lighthill 1956 року для $n=20$:

$x_{20}=(1+5\epsilon ,6\epsilon ,1+4\epsilon ,5\epsilon ,1+3\epsilon ,4\epsilon ,1+2\epsilon ,3\epsilon ,1+\epsilon ,2\epsilon ,1+2\epsilon ,\epsilon ,1+3\epsilon ,2\epsilon ,1+4\epsilon ,3\epsilon ,1+5\epsilon ,4\epsilon ,1+6\epsilon ,5\epsilon )$, де $\epsilon$ близька до 0.

Тоді ліва частина дорівнює $10-\epsilon ^{2}+O(\epsilon ^{3})$, тобто $<10$, коли $\epsilon$ достатньо мале.

Наступним контрприклад для $n=14$ навів Троуш (1985):

$x_{14}$ = (0, 42, 2, 42, 4, 41, 5, 39, 4, 38, 2, 38, 0, 40) (Troesch, 1985)

Література

• Fink, A.M. (1998). Shapiro's inequality. У Gradimir V. Milovanović, G. V. (ред.). Recent progress in inequalities. Dedicated to Prof. Dragoslav S. Mitrinović. Mathematics and its Applications (Dordrecht). Т. 430. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. с. 241—248. ISBN 0-7923-4845-1. Zbl 0895.26001.
• Bushell, P.J.; McLeod, J.B. (2002). Shapiro's cyclic inequality for even n (PDF). J. Inequal. Appl. 7 (3): 331—348. ISSN 1029-242X. Zbl 1018.26010. They give an analytic proof of the formula for even n ≤ 12, from which the result for all n ≤ 12 follows. They state n = 23 as an open problem.

Посилання

• Usenet discussion in 1999 (Dave Rusin's notes)
• PlanetMath