Модуль (алгебрична теорія чисел)

В алгебричній теорії чисел, модулем (також циклом, чи розширеним ідеалом) називається формальний добуток простих ідеалів (скінченних чи нескінченних) глобального поля (тобто алгебричного числового поля чи глобального поля функцій). Модулі, зокрема, є важливими для дослідження розгалуження в абелевих розширеннях глобальних полів. глобальне поле.

Означення

Нехай K — глобальне поле з кільцем цілих чисел R. Модулем називається формальний добуток

$\mathbf {m} =\prod _{\mathbf {p} }\mathbf {p} ^{\nu (\mathbf {p} )},\,\,\nu (\mathbf {p} )\geq 0$

де добуток береться по всіх скінченних чи нескінченних простих ідеалах p поля K, степені ν(p) є рівними нулю за винятком скінченної кількості p. Якщо K є числове поле, ν(p) = 0 чи 1 для дійсних нескінченних простих ідеалів і ν(p) = 0 для комплексних. Якщо K є полем функцій, ν(p) = 0 для всіх нескінченних простих ідеалів.

У випадку полів функцій, модуль це те саме, що ефективний дивізор.

Модуль задає відношення еквівалентності на множині ненульових елементів поля K. Якщо a і b є елементами K^×, означення a ≡^∗b (mod p^ν) залежить від типу простого ідеалу p:

• Якщо p є скінченним, то

$a\equiv ^{\ast }\!b\,(\mathrm {mod} \,\mathbf {p} ^{\nu })\Leftrightarrow \mathrm {ord} _{\mathbf {p} }\left({\frac {a}{b}}-1\right)\geq \nu$

де ord_p позначає нормалізоване нормування для простого ідеалу p;

• Якщо p є дійсним (для числового поля) і ν = 1, то

$a\equiv ^{\ast }\!b\,(\mathrm {mod} \,\mathbf {p} )\Leftrightarrow {\frac {a}{b}}>0$

для вкладення в поле дійсних чисел асоційоване з p.

• Для інших нескінченних простих ідеалів жодних умов немає.

Тоді для модуля m, a ≡^∗b (mod m) якщо a ≡^∗b (mod p^ν(p)) для всіх p such that ν(p) > 0.

Група променевих класів

Променем за модулем m називається

$K_{\mathbf {m} ,1}=\left\{a\in K^{\times }:a\equiv ^{\ast }\!1\,(\mathrm {mod} \,\mathbf {m} )\right\}.$

Модуль m розкладається на два підмодулі, m_f і m_∞ — добуток скінченних і нескінченних простих ідеалів відповідно.

Для модуля m через I^m позначимо:

• якщо K є числовим полем, підгрупу групи дробових ідеалів, що породжується ідеалами взаємно простими з m_f;
• якщо K є полем функцій алгебричної кривої над k, групу дивізорів, раціональних над k, із носієм за межами m.

В обох випадках, існує гомоморфізм груп i : K_m,1 > I^m для якого образом елемента a є головний ідеал (відповідно дивізор) (a).

група променевих класів modulo m є факторгрупою C_m = I^m/i(K_m,1). Клас суміжності i(K_m,1) називається променевим класом за модулем m.

Перше означення характеру Геке можна інтерпретувати в термінах характерів групи променевих класів для деякого модуля m.

Властивості

Коли K є числовим полем, виконуються такі властивості.

• Коли m = 1, група променевих класів є рівною групі класів ідеалів.
• Група променевих класів є скінченною її порядок завжди ділиться на порядок групи класів ідеалів K.

Література

• Cohn, Harvey (1985), Introduction to the construction of class fields, Cambridge studies in advanced mathematics, т. 6, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-24762-7
• Janusz, Gerald J. (1996), Algebraic number fields, Graduate Studies in Mathematics, т. 7, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0429-2
• Milne, James (2008), Class field theory (вид. v4.0), архів оригіналу за 6 березня 2018, процитовано 22 лютого 2010
• Serre, Jean-Pierre (1988), Algebraic groups and class fields, Graduate Texts in Mathematics, т. 117, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96648-9