Метод скінченних об'ємів

Метод скінченних об'ємів (МСО) — це чисельний метод інтегрування систем диференціальних рівнянь з частинними похідними.[1] Аналогічно до методів скінченних різниць і скінченних елементів, використовується сітка. Під скінченним об'ємом мається на увазі невеликий об'єм навколо кожної вузлової точки сітки. У цьому методі інтеграли об'єму, які містять вирази з дивергенцією, перетворюються у поверхневі інтеграли за допомогою формули Остроградського. Потім ці вирази оцінюються як поверхневі потоки кожного скінченного об'єму. Оскільки потік, який входить у даний об'єм, є ідентичним до потоку, який виходить із суміжного об'єму, то ці методи є консервативними. Іншою перевагою МСО є те, що він легко формулюється для неструктурованої сітки.

Цей метод використовується в обчислювальній гідродинаміці при моделюванні задач.

Приклад для одновимірного випадку ред.

Розглянемо просту задачу адвекції

 

де   — змінна стану, а   — постійний рух або потік. Умовно, якщо функція f додатна, то потік рухається праворуч, якщо від'ємна — ліворуч. Нехай рівняння (1) відображає поточне середовище у постійній області, тоді цю область x можна розділити на скінченні об'єми або комірки, i — індекси комірок. Для конкретної комірки i середнє значення об'єму обчислюється як:

 ,

при  

 ,

де   та  .

Проінтегрувавши рівняння (1), отримаємо:

 ,

де  .

Для отримання середнього значення об'єму   при   потрібно проінтегрувати   по об'єму комірки,  , та поділити результат на  .

 .

Припускається, що f добре поводиться, і що можна обернути порядок інтегрування. Також варто нагадати, що потік (англ. flow) перпендикулярний до одиниці площі комірки. Тепер, оскільки в одному вимірюванні  , то можна застосувати формулу Остроградського, тобто  , і замінити об'ємний інтеграл дивергенції значеннями  , обчисленими на поверхні комірки (грані   і  ) скінченного об'єму наступним чином:

 ,

де  .

Таким чином отримуємо напівдискретну числову схему для задачі з i-тими комірками та крайовими їх потоками  . Після диференціювання (6) отримуємо:

 ,

де значення крайових потоків   можуть бути знайдені за допомогою інтерполяції або екстраполяції середніх значень комірок. Формула (7) є точною для середнього значення об'єму.

Також цей метод є застосовним у двовимірному випадку.

Загальний закон збереження ред.

Розглянемо задачу загального закону збереження, подану у вигляді диференціального рівняння з частинними похідними:

 ,

де   — вектор стану, а   — тензор потоку. Так само ділимо область на скінченні об'єми або комірки. Для конкретної i-тої комірки беремо інтеграл об'єму по всьому об'єму комірки  :

 .

Проінтегрувавши першу складову для отримання середнього значення об'єму та застосувавши формулу Остроградського до другої складової формули, отримаємо

 ,

де   — площа поверхні комірки, а   — вектор нормалі. Зрештою можна отримати загальний результат, еквівалентний (8):

 .

Значення крайових потоків можуть бути знайдені за допомогою інтерполяції або екстраполяції. Фактично, чисельна схема залежить від принципу побудови сітки.

Консервативність схеми скінченних об'ємів полягає в тому, що середнє значення комірок змінюється через крайові потоки. Іншими словами, втрата однієї комірки призводить до створення нової.

Див. також ред.

Примітки ред.

  1. LeVeque, Randall (2002). Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. ISBN 9780511791253. Архів оригіналу за 23 жовтня 2020. Процитовано 20 квітня 2020. 

Посилання ред.

  • The finite volume method by R. Eymard, T Gallouët and R. Herbin, update of the article published in Handbook of Numerical Analysis, 2000
  • Rübenkönig, Oliver. The Finite Volume Method (FVM) – An introduction. Архів оригіналу за 2 жовтня 2009. , теекст доступний під вільною ліцензією GFDL.
  • FiPy: A Finite Volume PDE Solver Using Python from NIST.
  • CLAWPACK: a software package designed to compute numerical solutions to hyperbolic partial differential equations using a wave propagation approach
  • Кухарський В. М., Савула Я. Г., Головач Н. П. Стабілізація розв'язків задач адвекції-дифузії з великими числами Пекле, отриманих засобами методу скінченних елементів // Моделювання та інформаційні технології. — 2002. — Вип. 15. — С. 3-14. ЛНУ ім. Івана Франка

Джерела ред.

  • Eymard, R. Gallouët, T. R. Herbin, R. (2000) The finite volume method Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
  • LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
  • Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag.
  • Patankar, Suhas V. (1980), Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere.
  • Hirsch, C. (1990), Numerical Computation of Internal and External Flows, Volume 2: Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows, Wiley.
  • Laney, Culbert B. (1998), Computational Gas Dynamics, Cambridge University Press.
  • LeVeque, Randall (1990), Numerical Methods for Conservation Laws, ETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag.
  • Tannehill, John C., et al., (1997), Computational Fluid mechanics and Heat Transfer, 2nd Ed., Taylor and Francis.
  • Wesseling, Pieter (2001), Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer-Verlag.