Нотація Фогта

(Перенаправлено з Матриця жорсткості)

Нотація Фогта — матрична форма запису симетричного тензора 4-го рангу. Вперше була запропонована німецьким фізиком Вольдемаром Фогтом для тензора пружності в формулюванні закону Гука для анізотропних матеріалів.

ПозначенняРедагувати

Якщо тензор 4-ранга   є симетричним за першою і другою парою індексів

 ,
 ,

то його елементи можуть бути записані у вигляді матриці 6x6, використовуючи наступну підстановку індексів:

 
 
 
 
 
 .

Наприклад, компонента   буде відповідати елементу матриці  .

Використовуючи ті ж підстановки індексів, можна записувати симетричні тензори 2 рангу у вигляді 6 векторів. При такому поданні результат множення тензорів, взагалі кажучи, не відповідають результату множення матриць. Для того, щоб операція тензорного множення могла бути записана у вигляді множення матриць, може знадобитися введення додаткових множників.

Той факт, що тензор пружності має щонайбільше 21 незалежну копоненту дозволяє записати закон Гука в простішій формі з використанням матриць 6х6.

При цьому вводяться такі позначення:

 

для i = 1,2,3.

 ,
 ,
 .

Матричний запис закону ГукаРедагувати

Докладніше: закон Гука

Тоді матриця жорсткості визначається за допомогою співвідношення

 

Матриця жорсткості симетрична

 ,

а тому здебільшого її зображають в трикутній формі

 

Такий загальний вигляд матриця жорсткості має для кристалів найнижчої симетрії. Для кристалів високої симетрії матриця жорсткості має менше незалежних елементів і її вигляд спрощується. Наприклад, для ізотропного середовища залишається лише два незалежних елементи.

Матриця жорсткості для різних сингонійРедагувати

Триклінна сингоніяРедагувати

Матриця жорсткості має загальний вигляд із 21-м незалежним елементом.

Моноклінна сингоніяРедагувати

Тринадцять незалежних пружніх сталих

 

Ромбічна сингоніяРедагувати

9 незалежних елементів

 

Тетрагональна сингоніяРедагувати

Кристалічні класи 4,  , 4/m мають матрицю жорсткості з 7-ма незалежними модулями пружності:

 

Кристалічні класи 422, 4mm,  2m, 4/mmm мають 6 незалежних елементів

 

Тригональна сингоніяРедагувати

Кристалічні класи   і 3 характеризуютья 7-а незалежними модулями пружності

 

Кристалічні класи 32б 3m та  m характеризуються 6-ма незалежними модулями

 

Гексагональна сингоніяРедагувати

Для гексагональної сингонії існує 5 незалежних елементів матриці пружності

 

Кубічна сингоніяРедагувати

Три незалежних модулі пружності

 

Ізотропне середовищеРедагувати

Два незалежних модулі пружності

 

ДжерелаРедагувати

  • Кучин В.А., Ульянов В.Л. (1986). Упругие и неупругие свойства кристаллов. Москва: Энергоатомиздат. 
  • М.А. Акивис, В.В. Гольдберг. Тензорное исчисление. — М. : Наука, 1969. — 352 с.
  • В. Новацкий. Теория упругости / пер. Б. Е. Победря. — М. : "Мир", 1975. — 871 с.
  • Т.Д. Шермергор. Теория упругости микронеоднородных сред. — М. : "Наука", 1977. — 399 с.