Відкрити головне меню

Теоре́ма Лапла́са (розклад Лапласа) — одна з теорем в теорії матриць. Названа на честь французького математика П'єра-Симона Лапласа, якому приписують доведення цієї теореми в 1772 році, хоча окремий випадок цієї теореми про розкладання визначника по рядку (стовпцю) був відомий ще Лейбніцу.

Зміст

ТеоремаРедагувати

Нехай   — квадратна матриця розміру   в якій вибрано довільні   рядків.

Тоді визначник матриці   рівний сумі всіляких добутків мінорів  -го порядку, розташованих в цих рядках, на їх алгебраїчні доповнення.

 
де підсумовування ведеться по всіх номерах стовпців  

Число мінорів, по яких береться сума в теоремі Лапласа, рівне числу способів вибрати   стовпців з  , тобто біноміальному коефіцієнту  .

Оскільки рядки і стовпці матриці рівносильні щодо властивостей визначника, теорему Лапласа можна сформулювати і для стовпців матриці.

Дана теорема має наступні застосування.

Розклад визначника по рядку (стовпцю)Редагувати

Широко відомий окремий випадок теореми Лапласа — розкладання визначника по рядку або стовпцю. Він дозволяє представити визначник квадратної матриці у вигляді суми добутків елементів будь-якого її рядка або стовпця на їх алгебраїчне доповнення.

Нехай   — квадратна матриця розміру  . Нехай також заданий деякий номер її рядка   або номер її стовпця   При   мінорами будуть самі елементи цього рядка чи стовпця.

Визначник   може бути обчислений за формулами:

Розклад по  -му рядку:

 

Розклад по  -му стовпцю:

 

де   — алгебраїчне доповнення до елемента, розташованого в рядку з номером   та стовпці з номером  .

Фальшивий розкладРедагувати

Сума добутків усіх елементів деякого рядка (стовпця) матриці А на алгебраїчні доповнення відповідних елементів будь-якого іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

 
 

ПрикладиРедагувати

Розглянемо матрицю:

 

Визначник матриці обчислимо за допомогою розкладу Лапласа по першому рядку:

 
 

Застосувавши розклад Лапласа по другому стовпцю отримаємо той самий результат:

 
 

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати