Матрична тотожність Вудбурі
Матрична тотожність Вудбері
де матриці A розміру n×n, U розміру n×k, C розміру k×k і V розміру k×n.
Використовується для обернення блочної матриці.
Доведення через систему матричних рівнянь
ред.Розв'язуючи систему матричних рівнянь
Отримаємо систему з двох рівнянь та , вилучимо Y з першого рівняння: .
Перетворимо перше рівняння так , і підставимо його в друге рівняння .
Отримаємо , чи .
Підставимо Y в , і отримаємо . Отримаємо
Доведення через LDU розклад матриці
ред.В матриці
для обнулення елемента під A (дано що A невироджена) домножимо зліва на ліву трикутну матрицю,
а для обнулення елемента над C домножимо справа на праву трикутну матрицю.
Отримаємо LDU розклад блочної матриці
Проінвертуємо обидві сторони і перенесемо трикутні матриці направо
Також можна записати UDL розклад блочної матриці (дано що C невироджена)
Знову проінвертуємо обидві сторони і перенесемо трикутні матриці направо
Порівняємо елементи (1,1) матриць (1) та (2) і отримаємо тотожність Вудбері:
Часткові випадки
ред.Якщо n = k та U = V = In, тоді
Якщо k = 1 та C = Ik, тоді U буде вектором-стовпцем u, та V буде вектором-рядком vT. Тоді
- — має назву формули Шермана — Моррісона.
Якщо A = In та C = Ik, тоді
зокрема, справедливо
Див. також
ред.Джерела
ред.- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
- Ланкастер П. Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
- Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)