Користувач:YP/пісочниця

Поліноміальні моделі цифрових пристроїв.

Поліноміальна модель цифрового пристрою - це аналітичний вираз у вигляді поліному, який однозначно відображає алгоритм перетворення вхідних даних у вихідні.

<! «Таблица перевода номеров AWG в дюймы и миллиметры» содержит столбец: «Примерный метрический витой эквивалент». Википедия и Coogle не дает расшифровку этого термина. Прошу администратора решить эту проблему добавлением соответствующей ссылки.>

Наприклад: Задана таблиця 1 цифрового пристрою, що реалізує функцію F(X_i)(вихідні дані). Вхідними даними є аргумент X, що визначає номер рядка таблиці, представлений у вигляді натурального числа у десятковій системі числення (X₁₀ = 0, 1, 2, …, m). Для синтезу поліноміальної моделі цифрового пристрою використовують двозначну або тризначну систему числення (тризначна система числення використовувалась в ЭОМ «Сетунь»). В цьому випадку аргумент X замінюють кодом числа X в одній із вказаних систем числення зі змінними x_i, які однозначно визначають X₁₀ =$(x_{n}\dots x_{i}\dots x_{1})_{2}=\sum _{k=0}^{n-1}x_{k+1}q^{k},$ де:

• q — основа системи числення,
• x_k+1 — значення x_k+1 розряду,

Таблиця 1.

X	xn	.	xi	.	x1	F(xi)
0	0	.	0	.	0	F(0)
1	0	.	0	.	1	F(1)
.	.	.	.	.	.	.
k	xkn	.	xki	.	xk1	F(k)
.	.	.	.	.	.	.
m	xmn	.	xmi	.	xm1	F(m)

Задача створення аналітичного виразу (математичної моделі) у вигляді полінома F(x_i) від незалежних змінних x_i), зводиться до визначення вигляду та коефіцієнтів цього полінома, що в свою чергу, залежить від обраної системи числення.

Поліноміальну математичну модель F(x_i) шукають у вигляді скалярного добутку двох векторів - b^t та P(X) (де: b^t – транспонований вектор b).

Компонентами вектора b^t є коефіцієнти апроксимуючого полінома.

Нелінійна частина апроксимуючого полінома P(X) залежить від обраної системи числення. Компонентами вектора P(X) для двозначної системи числення є одночлени алгебраїчного полінома, отриманого шляхом перемноження простих лінійних функцій для одного розряду: P(X)=(1+x₁)(1+x₂)(1+x₃)...(1+x_i)=1 + x₁ + x₂ + x₁ x₂ + x₃ + x₁ x₃ + x₂ x₃ + x₁ x₂ x₃... до тих пір, поки не виконається співвідношення 2ⁱ = m (m – кількість рядків в таблиці 1).

Компонентами вектора P(X) для тризначної системи числення є одночлени алгебраїчного полінома, отриманого шляхом добутку простих квадратних функцій для одного розряду: P(X)=(1 + ${x_{1}}$ + ${x_{1}^{2}}$)( 1+ ${x_{2}}$ + ${x_{2}^{2}}$)( 1 + ${x_{3}}$ + ${x_{3}^{2}}$)...( 1 + ${x_{i}}$ + ${x_{i}^{2}}$) = 1 + ${x_{1}}$ + ${x_{1}^{2}}$ + ${x_{2}}$ + ${x_{1}}$ ${x_{2}}$ + ${x_{1}^{2}}$ ${x_{2}}$ + ${x_{2}^{2}}$ + ${x_{1}}$ ${x_{2}^{2}}$ + ${x_{1}^{2}}$ ${x_{2}^{2}}$ + ${x_{3}}$ + ${x_{1}}$ ${x_{3}}$ + ${x_{1}^{2}}$ ${x_{3}}$ + ${x_{2}}$ ${x_{3}}$ + ${x_{1}}$ ${x_{2}^{2}}$ ${x_{3}}$ + ${x_{1}^{2}}$ ${x_{2}}$ ${x_{3}}$ + ${x_{2}^{2}}$ ${x_{3}}$ + ${x_{1}}$ ${x_{2}^{2}}$ ${x_{3}}$ + ${x_{1}^{2}}$ ${x_{2}^{2}}$ ${x_{3}}$ + ${x_{3}^{2}}$ + ${x_{1}}$ ${x_{3}^{2}}$ + ${x_{1}^{2}}$ ${x_{3}^{2}}$ + ${x_{2}}$ ${x_{3}^{2}}$ + ${x_{1}}$ ${x_{2}}$ ${x_{3}^{2}}$ + ${x_{1}^{2}}$ ${x_{2}}$ ${x_{3}^{2}}$ + ${x_{2}^{2}}$ ${x_{3}^{2}}$ + ${x_{1}}$ ${x_{2}^{2}}$ ${x_{3}^{2}}$ + ${x_{1}^{2}}$ ${x_{2}^{2}}$ ${x_{3}^{2}}$... до тих пір, поки не виконається співвідношення 3ⁱ = m.

Апроксимуючий поліном прийме вигляд:

F(x_i)=b^t*P(X) =:${\begin{bmatrix}b_{0}&b_{1}&...&b_{j}&...&b_{m}\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}p_{0}=1\\p_{1}=x_{1}\\...\\p_{j}\\...\\p_{m}\end{bmatrix}}=$ ${b_{0}}$ + ${b_{1}}$ ${x_{1}}$ + ...

Задача формування математичної моделі зводиться до визначення компонент b_j (j= 0,1, …m) вектора b.

Двозначна система числення.

Алгебраїчний поліном.

Алгоритм визначення коефіцієнтів b_j полінома F(x_i). Вхідним виразом служить матриця C₁: $C_{1}={\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\\\end{bmatrix}}$. Подальші матриці будуються за рекурсивною процедурою: $C_{i}={\begin{bmatrix}C_{i-1}&0\\-C_{i-1}&C_{i-1}\\\end{bmatrix}}$ до тих пір, поки не виконається співвідношення 2ⁱ = m

Для знаходження вектора b, що складається з компонент шуканих коефіцієнтів b_j, необхідно перемножити матрицю C_i на вектор, що складається з компонент правого стовпчика F(x_i) таблиці 1:

b = C_i * F(x_i)

Поліном Жегалкіна.

Поліном Жегалкіна має той же вигляд, що і алгебраїчний поліном. Відмінність полягає в тому, що операції алгебраїчного множення та суми замінюються на логічні функції кон’юнкції та суми по mod.2 (виключної диз’юнкції).

Вхідним виразом служить матриця C₁:

$C_{1}={\begin{bmatrix}1&0\\1&1\\\end{bmatrix}}$

Подальші матриці будуються відповідно за рекурсивною процедурою:

$C_{i}={\begin{bmatrix}C_{i-1}&0\\C_{i-1}&C_{i-1}\\\end{bmatrix}}$

до тих пір, поки не виконається співвідношення 2ⁱ=m .

Для знаходження вектору b, необхідно перемножити матрицю C_i на вектор, що складається з компонент правого стовпчика таблиці 1 з урахуванням підсумовування часткових добутків по mod.2: b = [(C_i)*F(x_i)]mod2.

Тризначна система числення.

Алгебраїчний поліном.

Тризначна симетрична система числення (-1,0,1)

Матриця C₁ для симетричної системи числення має вигляд:

C₁= ${\begin{bmatrix}0&1&0\\-0,5&0&0,5\\0,5&-1&0,5\end{bmatrix}}$    

Наступні матриці будуються відповідно до рекурсивних співвідношень:

C_i= ${\begin{bmatrix}0&C_{i-1}&0\\-0,5*C_{i-1}&0&0,5*C_{i-1}\\0,5*C_{i-1}&-C_{i-1}&0,5*C_{i-1}\end{bmatrix}}$    

Вектор b знаходять у відповідності з виразом: b=[(C_i)*F(x_i)], а поліноміальну математичну модель згідно з виразом:

F(x_i) = b^t * P(X)

Тризначна несиметрична система числення (0,1,2)

Алгоритм той же, що і для симетричної системи числення, відмінність тільки в матрицях:

C₁= ${\begin{bmatrix}1&0&0\\-1,5&2&-0,5\\0,5&-1&0,5\end{bmatrix}}$    

C_i= ${\begin{bmatrix}C_{i-1}&0&0\\-1,5*C_{i-1}&2*C_{i-1}&-0,5*C_{i-1}\\0,5*C_{i-1}&-C_{i-1}&0,5*C_{i-1}\end{bmatrix}}$    

b=[(C_i)*F(x_i)];

F(x_i) = b^t * P(X).

Модифікація полінома Жегалкіна для тризначної системи числення

Модифікований поліном Жегалкіна має той же вигляд, що і алгебраїчний поліном для тризначної системи числення. Відмінність полягає в тому, що алгебраїчна сума замінюється на логічну функції суми по mod.3. Операція множення і зведення в квадрат аргументів x_i відповідають алгебраїчному множенню і зведенню аргументу в квадрат:

Існування і єдиність представлення модифікованим поліномом Жегалкіна будь-якої функції тризначної логіки аналогічно доказу для двозначної логіки.

Тризначна симетрична система числення (-1,0,1)

Алгоритм визначення коефіцієнтів b_j (j= 0,1, …m) аналогічний визначенню цих коефіцієнтів для алгебраїчного полінома в симетричній системі числення (-1,0,1). Відмінність у вхідних матрицях. Матриця C₁ для симетричної системи числення (-1,0.1) має вигляд:

C₁= ${\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&-1\\-1&-1&-1\end{bmatrix}}$    .

Рекурсивне співвідношення для наступних матриць: C_i= ${\begin{bmatrix}0&C_{i-1}&0\\C_{i-1}&0&-C_{i-1}\\-C_{i-1}&-C_{i-1}&-C_{i-1}\end{bmatrix}}$    .

Вектор b шукаємо у відповідності з виразом: b=[(C_i)*F(x_i)]mod3, а поліноміальну математичну модель згідно з виразом: F(x_i) = (b^t * P(X))mod.3.

Тризначна несиметрична система числення (0,1,2)

Матриця C₁ для несиметричною системи числення (0,1,2):

C₁= ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&1\\2&2&2\end{bmatrix}}$    

Рекурсивне співвідношення для наступних матриць: C_i= ${\begin{bmatrix}C_{i-1}&0&0\\0&2*C_{i-1}&C_{i-1}\\2*C_{i-1}&2*C_{i-1}&2*C_{i-1}\end{bmatrix}}$    

b=[(C_i)*F(x_i)]mod3;

F(x_i) = (b^t * P(X))mod.3.

Приклади

Двозначна система числення. Алгебраїчний поліном

Задана таблиця 2. Визначити компоненти b_j (j= 0,1, …7) вектора b поліноміальної математичної моделі F(x_i)=b^t * P(X):

Таблиця 2.

x3	x2	x1	F(xi)
0	0	0	F(0)=0
0	0	1	F(1)=1
0	1	0	F(2)=4
0	1	1	F(3)=9
1	0	0	F(4)=16
1	0	1	F(5)=25
1	1	0	F(6)=36
1	1	1	F(7)=49

Будуються матриці C₂ та C₃:

$C_{2}={\begin{bmatrix}C_{1}&0\\-C_{1}&C_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\-1&0&1&0\\1&-1&-1&1\\\end{bmatrix}}$

$C_{3}={\begin{bmatrix}C_{2}&0\\-C_{2}&C_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\-1&1&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0&0&0\\1&-1&-1&1&0&0&0&0\\-1&0&0&0&1&0&0&0\\1&-1&0&0&-1&1&0&0\\1&0&-1&0&-1&0&1&0\\-1&1&1&-1&1&-1&-1&1\\\end{bmatrix}}$

Шуканий вектор b = C₃ * F(x_i)=

${\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\-1&1&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0&0&0\\1&-1&-1&1&0&0&0&0\\-1&0&0&0&1&0&0&0\\1&-1&0&0&-1&1&0&0\\1&0&-1&0&-1&0&1&0\\-1&1&1&-1&1&-1&-1&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0\\1\\4\\9\\16\\25\\36\\49\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\1\\4\\4\\16\\8\\16\\0\end{bmatrix}}$

Поліноміальна математична модель:

F(x_i) = b^t * P(X)=

=${\begin{bmatrix}0&1&4&4&16&8&16&0\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1\\x_{1}\\x_{2}\\{x_{1}}*{x_{2}}\\x_{3}\\{x_{1}}*{x_{3}}\\{x_{2}}*{x_{3}}\\{x_{1}}*{x_{2}}*{x_{3}}\end{bmatrix}}=$ ${x_{1}}$ + 4*${x_{2}}$ + 4*${x_{1}}$*${x_{2}}$ + 16*${x_{3}}$ + 8*${x_{1}}$*${x_{3}}$ + 16*${x_{2}}$*${x_{3}}$

Якщо коефіцієнти b_j замінити кодами чисел у двозначній системі числення, то отримаємо вектор F(x_i), який встановлює зв'язок між розрядами аргумента x_i і функції f(_k)( k=1,2,...,6):

F(_k)=b^t * P(X) =

${\begin{bmatrix}0&0&0&0&1&0&1&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&1&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1\\x_{1}\\x_{2}\\x_{1}*x_{2}\\x_{3}\\x_{1}*x_{3}\\x_{2}*x_{3}\\x_{1}*x_{2}*x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}f_{6}\\f_{5}\\f_{4}\\f_{3}\\f_{2}\\f_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\x_{3}+x_{2}*x_{3}\\x_{1}*x_{3}\\x_{2}+x_{1}*x_{2}\\0\\x_{1}\end{bmatrix}}$

Принципова схема пристрою для зведення чисел у квадрат, згідно отриманої поліноміальної моделі, зображена на мал.1:

Мал. 1. Принципова схема пристрою для зведення чисел в квадрат

Двозначна система числення. Алгебра Жегалкіна

Задана таблиця 3. Визначити компоненти b_j (j= 0,1, …7) вектора b для полінома Жегалкіна:

Таблиця 3.

x3	x2	x1	F(xi)
0	0	0	F0=0
0	0	1	F1=1
0	1	0	F2=0
0	1	1	F3=1
1	0	0	F4=0
1	0	1	F5=0
1	1	0	F6=1
1	1	1	F7=1

Будуються матриці C₂ та C₃:

$C_{2}={\begin{bmatrix}C_{1}&0\\C_{1}&C_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&0&1&0\\1&1&1&1\\\end{bmatrix}}$

$C_{3}={\begin{bmatrix}C_{2}&0\\C_{2}&C_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&0&0\\1&1&0&0&1&1&0&0\\1&0&1&0&1&0&1&0\\1&1&1&1&1&1&1&1\\\end{bmatrix}}$

Шуканий вектор b: $b={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&0&0\\1&1&0&0&1&1&0&0\\1&0&1&0&1&0&1&0\\1&1&1&1&1&1&1&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0\\1\\0\\1\\0\\0\\1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{0}\\(F_{0}+F_{1})mod.2\\(F_{0}+F_{2})mod.2\\(F_{0}+F_{1}+F_{2}+F_{3})mod.2\\(F_{0}+F_{4})mod.2\\(F_{0}+F_{1}+F_{4}+F_{5})mod.2\\(F_{0}+F_{2}+F_{4}+F_{6})mod.2\\(F_{0}+F_{1}+F_{2}+F_{3}+F_{4}+F_{5}+F_{6}+F_{7})mod.2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\\0\\1\\1\\0\end{bmatrix}}$

Поліноміальна математична модель: F(x_i)=b^t*P(X) =${\begin{bmatrix}0&1&0&0&0&1&1&0\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1\\x_{1}\\x_{2}\\{x_{1}}*{x_{2}}\\x_{3}\\{x_{1}}*{x_{3}}\\{x_{2}}*{x_{3}}\\{x_{1}}*{x_{2}}*{x_{3}}\end{bmatrix}}=[$ ${x_{1}}$ + ${x_{1}}$ * ${x_{3}}$ + ${x_{2}}$ * ${x_{3}}$]mod.2.

Таблиця 3 реалізує функцію D-тригера. Змінним x_i відповідають найменування входів і виходів: x₁ = Q_t; x₂ = D; x₃ = C; F(x_i) = Q_t+1.

Алгоритм функціонування D-тригера описується формулою:Q_t+1 = [Q_t * (C + 1) + D * C)]mod.2.

Для зменшення обсягу обчислень застосовують властивості рекурсивної процедури побудови матриці C_j. У даному випадку знаходять перші значення коефіцієнтів b_j1 (j1 = 0,1, 2, 3) застосовуючи співвідношення: b_j1 = [(C₂)*F(x_i1)]mod2. . Останні коефіцієнти b_j2 (j2= 4,5, 6, 7) обчислюються за формулою: b_j2=[b_j1 + (C₂)*F(x_i2)]mod2.

Значення функції F(k) може бути у вигляді багаторозрядних десяткових чисел. В цьому випадку необхідно записати ці числа у двозначній системі числення і операцію суми по mod.2 проводити порозрядно.

Тризначна симетрична система числення (-1;0;1). Алгебраїчний поліном

Задана таблиця 4. Визначити компоненти b_j (j= 0,1, …8) вектора b для алгебраїчного полінома:

Таблиця 4.

x2	x1	F(xi)
-1	-1	1
-1	0	-1
-1	1	0
0	-1	-1
0	0	0
0	1	1
1	-1	0
1	0	1
1	1	-1

Будується матриця C₂:

$C_{2}={\begin{bmatrix}0&C_{1}&0\\-0,5*C_{1}&0&0,5*C_{1}\\0,5*C_{1}&-C_{1}&0,5*C_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0&0&1&0&0&0&0&\\0&0&0&-0,5&0&0,5&0&0&0&\\0&0&0&0,5&-1&0,5&0&0&0&\\0&-0,5&0&0&0&0&0&0,5&0&\\0,25&0&-0,25&0&0&0&-0,25&0&0,25&\\-0,25&0,5&-0,25&0&0&0&0,25&-0,5&0,25&\\0&0,5&0&0&-1&0&0&0,5&0&\\-0,25&0&0,25&0,5&0&-0,5&-0,25&0&0,25&\\0,25&-0,5&0,25&-0,5&1&-0,5&0,25&-0,5&0,25&\\\end{bmatrix}}$

Шуканий вектор b = C₂ * F(x_i)= $={\begin{bmatrix}0&0&0&0&1&0&0&0&0&\\0&0&0&-0,5&0&0,5&0&0&0&\\0&0&0&0,5&-1&0,5&0&0&0&\\0&-0,5&0&0&0&0&0&0,5&0&\\0,25&0&-0,25&0&0&0&-0,25&0&0,25&\\-0,25&0,5&-0,25&0&0&0&0,25&-0,5&0,25&\\0&0,5&0&0&-1&0&0&0,5&0&\\-0,25&0&0,25&0,5&0&-0,5&-0,25&0&0,25&\\0,25&-0,5&0,25&-0,5&1&-0,5&0,25&-0,5&0,25&\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1\\-1\\0\\-1\\0\\1\\0\\1\\-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\1\\0\\-1,5\\0\\-1,5\\0\end{bmatrix}}$

Поліноміальна математична модель: F(x_i) = b^t * P(X)= =$={\begin{bmatrix}0&1&0&1&0&-1,5&0&-1,5&0\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1\\x_{1}\\{x_{1}}^{2}\\x_{2}\\{x_{1}}*{x_{2}}\\{{x_{1}}^{2}}*{x_{2}}\\{x_{2}}^{2}\\{x_{1}}*{x_{2}}^{2}\\{{x_{1}}^{2}}*{{x_{1}}^{2}}\end{bmatrix}}=$ ${x_{1}}$ + ${x_{2}}$ - $1,5*{{x_{1}}^{2}}*{x_{2}}$ - $1,5*{x_{1}}*{{x_{2}}^{2}}$

реалізує функцію F(x_i)=(${x_{1}}$ + ${x_{2}}$)mod.3.

Тризначна симетрична система числення (-1;0;1). Модифікований поліном Жегалкіна

Задана таблиця 5. Для синтеза математичної моделі необхідно визначити компоненти b_j (j= 0, 1, …, 26) вектора b для модифікованого поліному Жегалкіна. Поліноміальна модель F(x_i) знаходиться як скалярний добуток двох векторів - b^t та P(X).

Таблиця 5.

F(xi)	-1	0	1	-1	0	1	-1	-1	-1	-1	0	1	-1	0	1	0	0	0	-1	0	1	-1	0	1	1	1	1
x3	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
x2	-1	-1	-1	0	0	0	1	1	1	-1	-1	-1	0	0	0	1	1	1	-1	-1	-1	0	0	0	1	1	1
x1	-1	0	1	-1	0	1	-1	0	1	-1	0	1	-1	0	1	-1	0	1	-1	0	1	-1	0	1	-1	0	1

Побудувавши матрицю C₃ за рекурсивними співвідношеннями:

$C_{1}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&-1\\-1&-1&-1\\\end{bmatrix}}$;

$C_{2}={\begin{bmatrix}0&C_{1}&0\\C_{1}&0&-C_{1}\\-C_{1}&-C_{1}&-C_{1}\\\end{bmatrix}}$;

$C_{3}={\begin{bmatrix}0&C_{2}&0\\C_{2}&0&-C_{2}\\-C_{2}&-C_{2}&-C_{2}\\\end{bmatrix}}$

розраховується вектор b: b = [C₃ * F(x_i)]mod.3.

Визначивши компоненти вектора b отримаємо поліноміальну математичну модель модифікованого полінома Жегалкіна:

F(x_i)= (${x_{1}}$ + ${x_{1}}$ * ${x_{2}}$ + ${x_{1}}$ * ${x_{2}^{2}}$ - ${x_{2}}$ * ${x_{3}}$ - ${x_{2}^{2}}$ * ${x_{3}}$)mod.3.

Таблиця 5 реалізує функцію D-тригера. Змінним x_i відповідають найменування входів і виходів: x₁= Q_t; x₂= C; x₃= D; F(x_i)= Q_t+1.

Алгоритм функціонування D-тригера описується формулою:

Q_t+1 = [Q_t * (1 + C + C²) - D * (С + C²)]mod.3

Дивись також

Поліном Жегалкіна Модель Математичне моделювання Поліноміальна інтерполяція

Література

1. Пухов Г.Е., Евдокимов В.Ф., Синьков М.В. "Разрядно-аналоговые вычислительные системы". -М., "Сов. радио", 1978.
2. Плющ Ю.А. Аппаратурная реализация функционального преобразования в специализированных вычислительных устройствах/ "Гибридные вычислительные машины". -К., "Наукова думка", 1979.
3. V. Evdokimov, Y. Plushch, A. Chemeris “SYNTHESIS OF DISCRETE DEVICES ON BASIS OF BIT TRANSFORMATIONS”/ ROCZNIKI INFORMATYKI STOSOWANEJ WYDZIALU INFORMATYKI POLITECHNIKI SZCZECINSKIEJ NR 3. Szczecin, 2002.
4. Автор. свид. СССР № 631918. МКИ³ G 06 f 15/32. БИ № 32, 30.08.79г.