Конфігурація Реє
У математиці конфігурація Реє, яку запропонував Теодор Реє 1882 року[1], — це конфігурація 12 точок і 16 прямих. Кожна точка конфігурації належить чотирьом прямим, а кожна пряма містить три точки. Таким чином, конфігурація Рейє позначається як 124163.
Реалізація ред.
Конфігурацію Реє можна реалізувати в тривимірному проєктивному просторі, якщо взяти як прямі 12 ребер і чотири довгі діагоналі куба, а як точки — вісім вершин куба, його центр і три точки, де чотири паралельних ребра перетинаються на нескінченності. Два правильних тетраедри можуть бути вписані в куб, утворюючи зірчастий октаедр. Ці два тетраедри є перспективними один одному фігурами чотирма різними способами, а інші чотири точки є їх центрами перспективи. Ці два тетраедри разом із тетраедром, утвореним рештою 4 точками, утворюють десмічну систему[en] трьох тетраедрів.
Будь-які дві неперетинні сфери в тривимірному просторі з різними радіусами мають два бідотичних[en] подвійних конуси, вершини яких називають центрами подібності. Якщо дано три сфери і їхні центри не колінеарні, їхні шість центрів подібності утворюють шість точок повного чотирибічника, чотири прямих якого називають осями подібності. Якщо ж дано чотири сфери і їхні центри не лежать в одній площині, то вони утворюють 12 центрів подібності і 16 осей подібності, що дають разом конфігурацію Реє[2].
Конфігурацію Рейє можна реалізувати у вигляді точок і прямих на евклідовій площині, якщо намалювати тривимірну конфігурацію в 3-точковій перспективі[en]. Конфігурацію 83122 восьми точок на дійсній проєктивній площині і 12 прямих, що з'єднують їх зі схемою з'єднань куба, можна розширити до конфігурації Реє тоді й лише тоді, коли вісім точок є перспективною проєкцією паралелепіпеда.[3]
Застосування ред.
Аравінд[4] зауважив, що конфігурація Реє лежить в основі доведення теореми Белла про відсутність прихованих змінних у квантовій механіці.
Пов'язані конфігурації ред.
Конфігурацію Паппа можна отримати з двох трикутників, які є перспективними фігурами один відносно одного трьома різними способами аналогічно інтерпретації конфігурації Реє з використанням десмічних тетраедрів.
Якщо конфігурацію Реє утворено з куба в тривимірному просторі, є 12 площин, кожна з яких містить чотири прямі — шість граней куба і шість площин через протилежні ребра куба. Перетин цих 12 площин і 16 прямих з іншою площиною в загальному положенні дає конфігурацію 163124, двоїсту конфігурації Реє. Конфігурація Реє і двоїста їй разом утворюють конфігурацію 284284[5].
Існує 574 різних конфігурацій типу 124163[6].
Примітки ред.
Література ред.
- С. Э. Кон-Фоссен, Д. Гильберт. [1] — М. : Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, 1936. — 302 с. Архівовано з джерела 27 січня 2022
- P. K. Aravind. How Reye's configuration helps in proving the Bell-Kochen-Specker theorem: a curious geometrical tale // Foundations of Physics Letters. — 2000. — Т. 13, вип. 6 (5 травня). — С. 499–519. — DOI:. Архівовано з джерела 29 вересня 2021. Процитовано 29 вересня 2021.
- Marcel Berger. Geometry revealed. — Berlin, New York : Springer-Verlag, 2010. — ISBN 978-3-540-70996-1. — DOI:
- Anton Betten, Dieter Betten. More on regular linear spaces // Journal of Combinatorial Designs. — 2005. — Т. 13, вип. 6 (5 травня). — С. 441–461. — DOI:. Архівовано з джерела 12 листопада 2021. Процитовано 29 вересня 2021.
- Branko Grünbaum, J. F. Rigby. The real configuration (214) // Journal of the London Mathematical Society. — 1990. — Т. 41, вип. 2 (5 травня). — С. 336–346. — (Second Series). — DOI:.
- Th. Reye. Das Problem der Configurationen // Acta Mathematica. — 1882. — Bd. 1, H. 1 (5 Mai). — S. 93–96. — DOI:.
- Brigitte Servatius, Herman Servatius. The generalized Reye configuration // Ars Mathematica Contemporanea. — 2010. — Т. 3, вип. 1 (5 травня). — С. 21–27.