Змішаний об'єм

Змішаний об'єм в опуклій геометрії — невід'ємне число, яке співставляється набору з $n$ опуклих тіл в $n$-мірному Евклідовому просторі. Число залежить від розмірів тіл та їх взаємного положення.

Змішаний об'єм набору $K_{1},K_{2},\dots ,K_{n}$ зазвичай позначається як

$V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})$.

Визначення

Нехай $K_{1},K_{2},\dots ,K_{n}$ набір з $n$ опуклих тіл в $\mathbb {R} ^{n}$ і $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}$ додатних дійсних чисел. Позначимо через $v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})$ об'єм тіла

$\lambda _{1}\cdot K_{1}+\lambda _{2}\cdot K_{2}+\dots +\lambda _{n}\cdot K_{n},$

де "$+$"означає суму Мінковського і

$\lambda _{i}\cdot K_{i}=\{\,\lambda \cdot x\mid x\in K_{i}\,\}.$

Функція $v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})$ є однорідним многочленом степені $n$. Коефіцієнт цього многочлена при $\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n}$ за визначенням дорівнює $n!\cdot V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})$.

Зауважимо, що

$v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{n}=1}^{n}V(K_{i_{1}},K_{i_{2}},\dots ,K_{i_{n}})\cdot \lambda _{i_{1}}\cdot \lambda _{i_{2}}\cdot \dots \cdot \lambda _{i_{n}}.$

Властивості

• Для довільних невід'ємних чисел $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}$,

  $V(\lambda _{1}\cdot K_{1},\lambda _{2}\cdot K_{2},\dots ,\lambda _{n}\cdot K_{n})=\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n}\cdot V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})$

• Змішаний об'єм інваріантний відносно паралельних переміщень тіл в наборі.
• Змішаний об'єм монотонний з включенням тіл.
• Змішаний об'єм неперервний відносно метрики Гаусдорфа.
• Змішаний об'єм невід'ємний.
  • Більше того, $V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})>0$ тільки тоді, коли в кожному $K_{i}$ можна провести по відрізку так, щоб ці відрізки були

лінійно незалежні.

• Для невід'ємного цілого $k\leqslant n$ змішаний об'єм $n-k$ копій опуклого тіл $K$ в $\mathbb {R} ^{n}$ і $k$ копій одиничної кулі виражається через $k$-у середню поперечну міру $K$. Зокрема
  • Змішаний об'єм набору з $n$ копій $K$ дорівнює звичайному об'єму $K$.
  • Змішаний об'єм набору з $n-1$ копій $K$ і одиничної кулі дорівнює площі поверхні $K$.
• Типове число рішень системи поліноміальних рівнянь $f_{1}=f_{2}=\dots =f_{n}=0$ дорівнює змішаному об'єму многокутників Ньютона$f_{i}$.
• нерівність Мінковського

  $V^{n}(K,L,\dots ,L)\geqslant V(K)\cdot V^{n-1}(L)$

• нерівність Александрова — Фенхеля

  $V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geqslant {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3},\ldots ,K_{n})\cdot V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.$