Замкнута геодезична

Замкнута геодезична на римановому многовиді — це геодезична, яка утворює просту замкнену криву. Її можна формалізувати як проєкцію замкнутої орбіти геодезичного потоку на дотичний простір многовида.

Означення

У римановому многовиді (M,g) замкнута геодезична — це періодична крива $\gamma \colon \mathbb {R} \rightarrow M$, яка є геодезичною для метрики g.

Замкнуті геодезичні можна описати за допомогою варіаційного принципу. Якщо позначити через $\Lambda M$ простір гладких 1-періодичних кривих на M, замкнуті геодезичні з періодом 1 — це в точності критичні точки функції енергії $E\colon \Lambda M\rightarrow \mathbb {R}$, визначеної формулою

$E(\gamma )=\int _{0}^{1}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t.$

Якщо $\gamma$ — замкнута геодезична з періодом p, перепараметрзована крива $t\mapsto \gamma (pt)$ є замкнутою геодезичною з періодом 1, а тому вона є критичною точкою E. Якщо $\gamma$ є критичною точкою E, такими є і перепараметризовані криві $\gamma ^{m}$, для будь-якого $m\in \mathbb {N}$, визначені формулою $\gamma ^{m}(t):=\gamma (mt)$. Тоді будь-яка замкнута геодезична на M породжує нескінченну послідовність критичних точок енергії E.

Див. також

• Вкорочувальний потік

Посилання

• Besse, A.: «Manifolds all of whose geodesics are closed», Ergebisse Grenzgeb. Math., no. 93, Springer, Berlin, 1978.
• Klingenberg, W.: «Lectures on closed geodesics», Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Vol. 230. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1978. x+227 pp. ISBN 3-540-08393-6