Залежний від параметра інтеграл

Інтеграл, залежний від параметра — математичний вираз, що містить визначений інтеграл і залежність від однієї або декількох змінних («параметрів»).

Залежний від параметра власний інтеграл

Нехай у двовимірному евклідовому просторі задана область ${\overline {G}}=\left\{\left(x,y\right)|a\leq x\leq b,c\leq y\leq d\right\}$, на якій визначена функція $~f(x,y)$ двох змінних.

Нехай далі, $\forall y\in \left[c;d\right]\,\exists I\left(y\right)=\int \limits _{a}^{b}f\left(x,y\right)\,dx$.

Функція $~I(y)$ і називається інтегралом, що залежить від параметра.

Властивості інтеграла, залежного від параметра

Неперервність

Нехай функція $~f(x,y)$ неперервна в області ${\overline {G}}$ як функція. Тоді функція $I\left(y\right)=\int \limits _{a}^{b}f\left(x,y\right)\,dx$ неперервна на відрізку $~[c;d]$.

Доведення  

Розглянемо приріст інтеграла, залежного від параметра. $\Delta I\left(y\right)=I\left(y+\Delta y\right)-I\left(y\right)=\int \limits _{a}^{b}f\left(x,y+\Delta y\right)\,dx-\int \limits _{a}^{b}f\left(x,y\right)\,dx=$

$=\int \limits _{a}^{b}\left(f\left(x,y+\Delta y\right)-f\left(x,y\right)\right)\,dx$.

За теоремою Кантора, неперервна на компакті функція рівномірно неперервна на ньому, тобто $\forall \epsilon >0\,\exists \delta =\delta \left(\epsilon \right)>0\,\forall M_{1}(x_{1},y_{1}),M_{2}(x_{2},y_{2})\in {\overline {G}}:$

${\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}<\delta \,\left|f(M_{1})-f(M_{2})\right|<\epsilon$.

Тому, $\Delta I(y)<\epsilon (b-a)$ при $\Delta y<\delta$, що й означає неперервність функції

Диференціювання під знаком інтеграла

Нехай тепер на області ${\overline {G}}$ неперервна не лише функція $~f(x,y)$, але і її частинна похідна ${\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y\right)$.

Тоді ${\frac {d}{dy}}I(y)=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y\right)\,dx$, або, що те саме, ${\frac {d}{dy}}\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y\right)\,dx$

Доведення  

${\frac {\Delta I(y)}{\Delta y}}={\frac {1}{\Delta y}}\int \limits _{a}^{b}(f(x,y+\Delta y)-f(x,y))dx=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\eta )dx=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y+\Theta \Delta y)dx$ $(\eta \in [y;y+\Delta y],\Theta \in [0;1])$ Дані перетворення були виконані з використанням теореми про середнє Лагранжа. Розглянемо тепер вираз ${\frac {\Delta I(y)}{\Delta y}}-\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y\right)\,dx=\int \limits _{a}^{b}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y+\Theta \Delta y\right)-{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y\right)\right)\,dx$.

Використовуючи знову теорему Кантора, але для функції ${\frac {\partial f}{\partial y}}$ ми отримуємо, що ${\frac {\Delta I(y)}{\Delta y}}-\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y\right)\,dx=o(1)$ при $\Delta (y)\to 0$, що і доводить дану теорему

Інтегрування під знаком інтеграла

Якщо функція $~f(x,y)$ неперервна в області ${\overline {G}}$, то

$\int \limits _{c}^{d}I(y)\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left(\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)\,dx$, або, що те саме:

$\int \limits _{c}^{d}\left(\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left(\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)\,dx$

Доведення  

Розглянемо дві функції:

$F(x)=\int \limits _{a}^{x}\left(\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)\,dx$

$G(x)=\int \limits _{c}^{d}\left(\int \limits _{a}^{x}f(x,y)\,dx\right)\,dy$

${\frac {dF}{dx}}=\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy$

${\frac {dG}{dx}}=\int \limits _{c}^{d}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)\,dx\right)\,dy=\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy$

${\frac {dF}{dx}}\equiv {\frac {dG}{dx}}$ на $[a;b]$, тому $F(x)\equiv G(x)+C$.

Так як $F(a)=0,G(a)=\int \limits _{c}^{d}0dy=0$, то $C=0$ і $F(x)\equiv G(x)$ На $[a;b]$. Підставляючи $x=b$ отримаємо умови теореми.