Задача Мінковського

Задача Мінковського:

Чи існує замкнута опукла гіперповерхня , у якої кривина Гауса є заданою функцією одиничного вектора зовнішньої нормалі .

Поставлена Мінковським, якому належить узагальнене розвязання цієї задачі, в тому сенсі, що воно не містить жодної інформації про характер регулярності , навіть якщо  — аналітична функція. Мінковський довів, що якщо на одиничній гіперсфері задана безперервна додатна функція , яка задовольняє умові: , то існує і єдина (з точністю до паралельного переносу) замкнена опукла поверхня , для якої є кривиною Гауса в точці з зовнішньою нормаллю .

Регулярне рішення задачі Мінковського в Евклідовому просторі дано Погорєловим О. В. у 1971 році. Зокрема, він довів, що якщо належить класу , , то одержувана поверхня належить класу гладкості , а в випадку аналітичності , поверхня також буде аналітичною.

За рішення цієї проблеми Погорєлов О. В. був нагороджений Державною премією УРСР в 1974 році.

Варіації і узагальненняРедагувати

  • Існує узагальнення задачі Мінковського для Ріманова простору[1].

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  1. Bodrenko A.I. The solution of the Minkowski problem for open surfaces in Riemannian space. Arxiv.org, 2007.
  • Minkowski H. Volumen und Oberfläche, Mathematische Annalen, 57 (1903) 447—495
  • Погорелов А. В., Многомерная проблема Минковского, М., 1971;
  • Буземан Г., Выпуклые поверхности, пер. с англ.. М., 1964.