Відкрити головне меню

Опуклою поверхнею евклідова або метричного простору називається будь-яка область (тобто зв'язна і відкрита множина), що лежить на межі опуклого тіла. Поверхня, що є межею опуклого тіла, називається повною опуклою поверхнею.[1]

ПрикладРедагувати

Найпростіший приклад опуклого тіла — куля радіуса R евклідову простору  , задана рівнянням  . Відповідно, сфера   — повна опукла поверхня.

З поверхні сфери можна отримати опуклу поверхню необмежено великого діаметра наступним чином. Достатньо уявити ніби зрізають з кулі яблука ножем шкуринку — це і буде шукана опукла поверхня, яка може бути скільки завгодно довгою.

Топологічна будова опуклих поверхоньРедагувати

Опуклі тіла евклідову простору   можуть бути тільки п'яти топологічно різних типів:[2]

  1. кінцеві опуклі тіла, гомеоморфні кулі;
  2. нескінченні опуклі тіла, гомеоморфні півпростору;
  3. циліндри, гомеоморфні безкінечного круговому циліндру;
  4. шари між паралельними площинами;
  5. весь простір.

Тим самим повні опуклі поверхні евклідову простору   можуть бути трьох типів:

  1. замкнуті поверхні, гомеоморфні сфері;
  2. нескінченні поверхні, гомеоморфні площині;
  3. циліндричні поверхні, гомеоморфні поверхні нескінченного кругового циліндра.

Кількість топологічно різних типів повних опуклих поверхонь у просторі Лобачевського не кінцева, як в евклідовому просторі, а нескінченна:

Опукла поверхня в просторі Лобачевського гомеоморфна області на сфері, і для всякої області на сфері існує гомеоморфна їй повна опукла поверхня в просторі Лобачевського.[3]

Локальна опуклістьРедагувати

Поверхню F називають локально опуклою в точці  , якщо існує такий окіл U точки x, що   — опукла поверхня.

Для опуклості зв'язної замкненої множини F в   необхідно і достатньо локальної опуклості F у всіх точках.[4]

Якщо в (n+1)-мірний евклідів простір занурено повний в індукованій метриці n-мірний локально опуклий, суворо опуклий в деякій точці різновид M розмірності   тоді M вкладено як межу опуклого тіла і або M — компакт, який обмежує опукле тіло і гомеоморфний сфері  , або M гомеоморфний  .[5]

Нехай в (n+1)-мірний простір Лобачевського занурено повний в індукованій метриці n-мірний локально опуклий, локально опорний на орисфери різновид M розмірності   тоді M вкладено як межу опуклого тіла і або M — компакт, який обмежує опукле тіло і гомеоморфний сфері  , або M — орисфера.[6]

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. А. Д. Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.; Л.: ОГИЗ, 1948, с. 11.
  2. А. Д. Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.; Л.: ОГИЗ, 1948, с. 377.
  3. А. Д. Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.; Л.: ОГИЗ, 1948, с. 360.
  4. Nakajima (Matsumura) S. // Tohku Math. J., 1928, 29, 227–230.
  5. J. van Heijenoort // On locally convex manifolds, Comm. Pure Appl. Math., 1952, v. 5, 223–242.
  6. О.А. Борисенко, Д.І. Власенко // Опуклі поверхні простору Лобачевського, МАГ, 1997, т. 4, вип. 3, 278-285.