Опукла поверхня

Опукла поверхня в евклідовому або метричному просторі — будь-яка область (тобто зв'язна і відкрита множина), що лежить на межі опуклого тіла. Поверхню, що є межею опуклого тіла, називають повною опуклою поверхнею.

Приклад

Найпростіший приклад опуклого тіла — куля радіуса R в евклідовому просторі $E^{n}$, задана рівнянням $\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\leqslant R^{2}$. Відповідно, сфера $\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=R^{2}$ — повна опукла поверхня.

З поверхні сфери можна отримати опуклу поверхню необмежено великого діаметра в такий спросіб: достатньо уявити ніби зрізають з кулі-яблука ножем шкуринку — це й буде шукана опукла поверхня, яка може бути як завгодно довгою.

Топологічна будова опуклих поверхонь

Опуклі тіла в евклідовому просторі $E^{3}$ можуть бути тільки п'яти топологічно різних типів:

1. скінченні опуклі тіла, гомеоморфні кулі;
2. нескінченні опуклі тіла, гомеоморфні півпростору;
3. циліндри, гомеоморфні нескінченному круговому циліндру;
4. шари між паралельними площинами;
5. весь простір.

Тим самим повні опуклі поверхні в евклідовому просторі $E^{3}$ можуть бути трьох типів:

1. замкнуті поверхні, гомеоморфні сфері;
2. нескінченні поверхні, гомеоморфні площині;
3. циліндричні поверхні, гомеоморфні поверхні нескінченного кругового циліндра.

Кількість топологічно різних типів повних опуклих поверхонь у просторі Лобачевського не скінченна, як в евклідовому просторі, а нескінченна: Опукла поверхня в просторі Лобачевського гомеоморфна області на сфері, і для всякої області на сфері існує гомеоморфна їй повна опукла поверхня в просторі Лобачевського.

Локальна опуклість

Поверхню F називають локально опуклою в точці $x\in F$, якщо існує такий окіл U точки x, що $F\cap U$ — опукла поверхня.

Для опуклості зв'язної замкненої множини F в $R^{n}$ необхідно і достатньо локальної опуклості F у всіх точках.

Якщо в (n+1)-вимірний евклідів простір занурено повний в індукованій метриці n-вимірний локально опуклий, суворо опуклий в деякій точці многовид M розмірності $n\geqslant 2,$ тоді M вкладено як межу опуклого тіла і або M — компакт, який обмежує опукле тіло і гомеоморфний сфері $S^{n}$, або M гомеоморфний $R^{n}$.

Нехай в (n+1)-вимірний простір Лобачевського занурено повний в індукованій метриці n-вимірний локально опуклий, локально опорний на орисфери многовид M розмірності $n\geqslant 2,$ тоді M вкладено як межу опуклого тіла і або M — компакт, який обмежує опукле тіло і гомеоморфний сфері $S^{n}$, або M — орисфера.

Див. також

• Локально опуклий простір