Опукла поверхня в евклідовому або метричному просторі — будь-яка область (тобто зв'язна і відкрита множина), що лежить на межі опуклого тіла. Поверхню, що є межею опуклого тіла, називають повною опуклою поверхнею[1].

Приклад

ред.

Найпростіший приклад опуклого тіла — куля радіуса R в евклідовому просторі  , задана рівнянням  . Відповідно, сфера   — повна опукла поверхня.

З поверхні сфери можна отримати опуклу поверхню необмежено великого діаметра в такий спросіб: достатньо уявити ніби зрізають з кулі-яблука ножем шкуринку — це й буде шукана опукла поверхня, яка може бути як завгодно довгою.

Топологічна будова опуклих поверхонь

ред.

Опуклі тіла в евклідовому просторі   можуть бути тільки п'яти топологічно різних типів:[2]

  1. скінченні опуклі тіла, гомеоморфні кулі;
  2. нескінченні опуклі тіла, гомеоморфні півпростору;
  3. циліндри, гомеоморфні нескінченному круговому циліндру;
  4. шари між паралельними площинами;
  5. весь простір.

Тим самим повні опуклі поверхні в евклідовому просторі   можуть бути трьох типів:

  1. замкнуті поверхні, гомеоморфні сфері;
  2. нескінченні поверхні, гомеоморфні площині;
  3. циліндричні поверхні, гомеоморфні поверхні нескінченного кругового циліндра.

Кількість топологічно різних типів повних опуклих поверхонь у просторі Лобачевського не скінченна, як в евклідовому просторі, а нескінченна: Опукла поверхня в просторі Лобачевського гомеоморфна області на сфері, і для всякої області на сфері існує гомеоморфна їй повна опукла поверхня в просторі Лобачевського.[3]

Локальна опуклість

ред.

Поверхню F називають локально опуклою в точці  , якщо існує такий окіл U точки x, що   — опукла поверхня.

Для опуклості зв'язної замкненої множини F в   необхідно і достатньо локальної опуклості F у всіх точках.[4]

Якщо в (n+1)-вимірний евклідів простір занурено повний в індукованій метриці n-вимірний локально опуклий, суворо опуклий в деякій точці многовид M розмірності   тоді M вкладено як межу опуклого тіла і або M — компакт, який обмежує опукле тіло і гомеоморфний сфері  , або M гомеоморфний  [5].

Нехай в (n+1)-вимірний простір Лобачевського занурено повний в індукованій метриці n-вимірний локально опуклий, локально опорний на орисфери многовид M розмірності   тоді M вкладено як межу опуклого тіла і або M — компакт, який обмежує опукле тіло і гомеоморфний сфері  , або M — орисфера[6].

Див. також

ред.

Примітки

ред.
  1. А. Д. Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.; Л.: ОГИЗ, 1948, с. 11.
  2. А. Д. Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.; Л.: ОГИЗ, 1948, с. 377.
  3. А. Д. Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.; Л.: ОГИЗ, 1948, с. 360.
  4. Nakajima Soji. Über konvexe Kurven und Flächen // Tohoku Math. J.. — Bd. 29. — S. 227—230.
  5. J. van Heijenoort // On locally convex manifolds, Comm. Pure Appl. Math., 1952, v. 5, 223—242.
  6. О. А. Борисенко, Д. І. Власенко // Опуклі поверхні простору Лобачевського, МАГ, 1997, т. 4, вип. 3, 278—285.