Опукла поверхня
Опукла поверхня в евклідовому або метричному просторі — будь-яка область (тобто зв'язна і відкрита множина), що лежить на межі опуклого тіла. Поверхню, що є межею опуклого тіла, називають повною опуклою поверхнею[1].
Приклад ред.
Найпростіший приклад опуклого тіла — куля радіуса R в евклідовому просторі , задана рівнянням . Відповідно, сфера — повна опукла поверхня.
З поверхні сфери можна отримати опуклу поверхню необмежено великого діаметра в такий спросіб: достатньо уявити ніби зрізають з кулі-яблука ножем шкуринку — це й буде шукана опукла поверхня, яка може бути як завгодно довгою.
Топологічна будова опуклих поверхонь ред.
Опуклі тіла в евклідовому просторі можуть бути тільки п'яти топологічно різних типів:[2]
- скінченні опуклі тіла, гомеоморфні кулі;
- нескінченні опуклі тіла, гомеоморфні півпростору;
- циліндри, гомеоморфні нескінченному круговому циліндру;
- шари між паралельними площинами;
- весь простір.
Тим самим повні опуклі поверхні в евклідовому просторі можуть бути трьох типів:
- замкнуті поверхні, гомеоморфні сфері;
- нескінченні поверхні, гомеоморфні площині;
- циліндричні поверхні, гомеоморфні поверхні нескінченного кругового циліндра.
Кількість топологічно різних типів повних опуклих поверхонь у просторі Лобачевського не скінченна, як в евклідовому просторі, а нескінченна: Опукла поверхня в просторі Лобачевського гомеоморфна області на сфері, і для всякої області на сфері існує гомеоморфна їй повна опукла поверхня в просторі Лобачевського.[3]
Локальна опуклість ред.
Поверхню F називають локально опуклою в точці , якщо існує такий окіл U точки x, що — опукла поверхня.
Для опуклості зв'язної замкненої множини F в необхідно і достатньо локальної опуклості F у всіх точках.[4]
Якщо в (n+1)-вимірний евклідів простір занурено повний в індукованій метриці n-вимірний локально опуклий, суворо опуклий в деякій точці многовид M розмірності тоді M вкладено як межу опуклого тіла і або M — компакт, який обмежує опукле тіло і гомеоморфний сфері , або M гомеоморфний [5].
Нехай в (n+1)-вимірний простір Лобачевського занурено повний в індукованій метриці n-вимірний локально опуклий, локально опорний на орисфери многовид M розмірності тоді M вкладено як межу опуклого тіла і або M — компакт, який обмежує опукле тіло і гомеоморфний сфері , або M — орисфера[6].
Див. також ред.
Примітки ред.
- ↑ А. Д. Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.; Л.: ОГИЗ, 1948, с. 11.
- ↑ А. Д. Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.; Л.: ОГИЗ, 1948, с. 377.
- ↑ А. Д. Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.; Л.: ОГИЗ, 1948, с. 360.
- ↑ Nakajima Soji. Über konvexe Kurven und Flächen // Tohoku Math. J.. — Bd. 29. — S. 227—230.
- ↑ J. van Heijenoort // On locally convex manifolds, Comm. Pure Appl. Math., 1952, v. 5, 223—242.
- ↑ О. А. Борисенко, Д. І. Власенко // Опуклі поверхні простору Лобачевського, МАГ, 1997, т. 4, вип. 3, 278—285.