Диференційний біном

В математичному аналізі диференціальним біномом або біноміальним диференціалом називається диференціал виду

$I=x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx,$

де a, b — дійсні числа, a m, n, p — раціональні числа.

Властивості

Виразність у елементарних функціях

Диференційний біном виражається в елементарних функціях тільки в трьох випадках:

• $p$ — ціле число. Використовується підстановка $x=t^{k}$, $k$ — спільний знаменник дробів $m$ и $n$;
• ${\frac {m+1}{n}}$ — ціле число. Використовується підстановка $a+bx^{n}=t^{s}$;
• $p+{\frac {m+1}{n}}$ — ціле число. Використовується підстановка $ax^{-n}+b=t^{s}$, $s$ — знаменник дробу $p$.

Зв'язок з бета-функцією і гіпергеометричною функцією

Диференційний біном виражається через неповну бета-функцію:

$I={\frac {1}{n}}a^{(m+1)/n+p}b^{-(m+1)/n}B_{y}\left({\frac {m+1}{n}},p-1\right),$

де $y={\frac {b}{a}}x^{n}$, а також через гіпергеометричну функцію:

$I={\frac {1}{1+m}}a^{(m+1)/n+p}b^{-(m+1)/n}y^{(m+1)/n}{}_{2}F_{1}\left({\frac {m+1}{n}},2-p;1+{\frac {m+1}{n}};y\right).$

Історія

Випадки виразності диференціального бінома в елементарних функціях були відомі ще Леонарду Ейлеру. Однак, невиразність диференціального бінома в елементарних функціях у всіх інших випадках була доведена П. Чебишевим в 1853 році.

Див. також

• Таблиця інтегралів

Посилання

• Дифференциальный бином^{[недоступне посилання з липня 2019]} в БСЭ.
• Integration Of Differential Binomial на PlanetMath.(англ.)
• Tables of indefinite integrals [Архівовано 19 грудня 2011 у Wayback Machine.].