Відкрити головне меню

Дельта-метод (англ. Delta method) у статистиці — твердження щодо наближеного ймовірнісного розподілу функції асимптотично нормальної статистичної оцінки за відомої граничної варіації цієї оцінки. 

Одновимірний дельта-методРедагувати

У той час, як метод дельта легко узагальнюється до багатовимірного випадку, точне обґрунтування цієї методики легше продемонструвати в одновимірних умовах. Грубо кажучи, якщо є послідовність випадкових величин  , що задовольняють

 

дe   тa   — скінченні константи і   позначає збіжність за розподілом, тоді

 

для довільної функції g, яка задовольняє властивість:   (існує і не дорівнює нулю).

Доведення одновимірного випадкуРедагувати

Доведення твердження досить просте у випадку неперервної похідної  . Для початку скористаємось теоремою Лагранжа про середнє:

 

дe   знаходиться між Xn тa  . Зауважте, що оскільки   тa  , то відповідно маємо   і оскільки   неперервна, то, застосовуючи теорему про неперервне відображення, маємо

 

дe   позначає збіжність за розподілом.

Після тривіальних перетворень і множення на    маємо

 

Оскільки

 

за припущенням і використовуючи теорему Слуцького випливає

 

Що й треба було показати.

Доведення з явним використанням О-символікиРедагувати

Альтернативно, можна було б додати ще один крок в кінці для отримання порядкового наближення:

 

Що показує прямування наближення за ймовірністю до нуля.

Багатовимірний дельта-методРедагувати

За означенням, конзистентна оцінка B збігається за ймовірністю до її справжнього значення β, і, застосовуючи центральну граничну теорему, можна отримати асимптотичну нормальність:

 

дe n — число спостережень і Σ — матриця коваріації (симетрична позитивно напів-визначена). Нехай треба оцінити варіацію функції h оцінки B. Беручи до уваги тільки два перші члени розкладу Тейлора, з використанням векторного позначення градієнта, можемо оцінити h(B) як

 

звідки випливає, що варіація h(B) наближено дорівнює

 

Застосовуючи теорему Лагранжа про середнє (для дійснозначних функцій багатьох змінних), можна переконатись, щo доведення не спирається на той факт, що враховуються тільки наближення першого порядку.

Отже, з дельта-методу випливає

 

чи в одновимірному випадку,

 

ДжерелаРедагувати

  • Casella, G. and Berger, R. L. (2002), Statistical Inference, 2nd ed.
  • Cramér, H. (1946), Mathematical Methods of Statistics, p. 353.
  • Davison, A. C. (2003), Statistical Models, pp. 33-35.
  • Greene, W. H. (2003), Econometric Analysis, 5th ed., pp. 913f.
  • Klein, L. R. (1953), A Textbook of Econometrics, p. 258.

ПосиланняРедагувати