Двоїстість Пуанкаре

У математиці, теорема двоїстості Пуанкаре, що названа на честь французького математика Анрі Пуанкаре, є основним твердженням про структуру груп гомологій та когомологій многовиду. Вона стверджує, що всі k-ті групи когомологій n-вимірного орієнтовного замкнутого многовиду M ізоморфні (n − k)-м групам гомологій M:

$H^{k}(M)\cong H_{n-k}(M).$

Історія

Початковий варіант теореми двоїстості був сформульований Пуанкаре без доведення в 1893 році. Когомології були винайдені лише через два десятиліття після його смерті, тому ідею двоїстості він сформулював у термінах чисел Бетті: k-те та (n − k)-те числа Бетті замкнутого (компактного без краю) орієнтовного n-вимірного многовиду рівні:

$b_{k}(M)=b_{n-k}(M).$

Пізніше Пуанкаре дав доведення цієї теореми у термінах двоїстих триангуляцій.

Сучасне формулювання

Сучасне формулювання двоїстості Пуанкаре включає поняття гомологій і когомологій: якщо M — замкнутий орієнтовний n-вимірний многовид, k — ціле число, то існує канонічний ізоморфізм k-ї групи когомологій H^k(M) в (n − k)-ю группу гомологий H_n − k(M):

$D:H^{k}(M)\to H_{n-k}(M)$.

Цей ізіморфізм визначається фундаментальним класом многовиду $[M]$:

$D(\alpha )=[M]\frown \alpha$,

де $\alpha \in H^{k}(M)$ — коцикл, $\frown$ обозначає $\frown$-множення гомологічних та когомологічних класів. Тут наведено гомології і когомології з коефіцієнтами в кільці цілих чисел, але ізоморфізм має місце і для довільного кільця коефіцієнтів.

Для некомпактних орієнтовних многовидів когомології в цій формулі необхідно замінити на когомології з компактним носієм.

Для $k<0$ групи гомологій та когомологій, за означенням нульові, відповідно, згідно з двоїстістю Пуанкаре, групи гомологій і когомологій при $k>n$ на n-вимірному многовиді є нульовими.

Білінійне парування

Нехай M замкнутий орієнтовний многовид, позначемо через $\tau H_{k}(M)$ кручення групи $H_{k}(M)$, і $fH_{k}(M)=H_{k}(M)/\tau H_{k}(M)$ її вільну частину; всі групи гомологій беруться з цілими коефіцієнтами. Існують білінійні відображення:

$fH_{k}(M)\otimes fH_{n-k}(M)\to \mathbb {Z}$

і

$\tau H_{k}(M)\otimes \tau H_{n-k-1}(M)\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .$

(Здесь $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ — адитивна факторгрупа групи раціональних чисел за цілими.)

Перша форма називається індексом перетину, друга — коефіцієнтом зачеплення. Індекс перетину визначає невироджену двоїстість між вільним частинами груп $H_{k}(M)$ і $H_{n-k}(M)$, коефіцієнт зачеплення — між крученнями груп $H_{k}(M)$ і $H_{n-k-1}(M)$.

Твердження про те, що ці білінійні парування визначають двоїстість, означає, що відображення

$fH_{k}(M)\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(fH_{n-k}(M),\mathbb {Z} )$

і

$\tau H_{k}(M)\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(\tau H_{n-k-1}(M),\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )$

є ізоморфізмами груп.

Цей результат є наслідком двоїстості Пуанкаре $H_{k}(M)\simeq H^{n-k}(M)$ і теореми про універсальні коефіцієнти, що дають рівності $fH^{n-k}(M)\equiv \mathrm {Hom} (H_{n-k}(M);\mathbb {Z} )$ и $\tau H^{n-k}(M)\equiv \mathrm {Ext} (H_{n-k-1}(M);\mathbb {Z} )\equiv \mathrm {Hom} (\tau H_{n-k-1}(M);\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )$. Таким чином, групи $fH_{k}(M)\simeq fH_{n-k}(M)$ є ізоморфними, хоча і не існує природного ізоморфізму, і, аналогічно, $\tau H_{k}(M)\simeq \tau H_{n-k-1}(M)$.

Література

• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989