Губка Менгера

Губка Менгера — геометричний фрактал, один з тривимірних аналогів килима Серпінського.

5 ітерацій

На 6-й ітерації

Губка Менгера після 4-х ітерацій

Тривимірна модель губки Менгера

Побудова

Ітеративний метод

Куб $C_{0}$ з ребром 1 ділять площинами, паралельними його граням, на 27 рівних кубів. З куба $C_{0}$ видаляють центральний куб і всі прилеглі до нього по двовимірних гранях куби такого ж розміру. Лишається множина $C_{1}$, що складається з решти 20 замкнутих кубів «першого рангу». Вчинивши так само з кожним з кубів першого рангу, отримаємо множину $C_{2}$, що містить 400 кубів другого рангу. Продовжуючи цей процес нескінченно, одержимо нескінченну послідовність: $C_{0}\supset C_{1}\supset \dots \supset C_{n}\supset \dots$, перерізом членів якої є губка Менгера.

Метод хаосу

1. Задаються координати 20 точок-атракторів. Ними є 8 вершин і 12 середин ребер вихідного куба $C_{0}$.
2. Ймовірнісний простір $(0;1)$ розбивається на 20 рівних частин, кожна з яких відповідає одному атрактору.
3. Задається деяка початкова точка $P_{0}$, що лежить всередині куба $C_{0}$.
4. Початок циклу побудови точок, що належать множині губки Менгера.
   1. Генерується випадкове число $n\in (0;1)$.
   2. Активним атрактором стає той, на ймовірнісний підпростір якого випало згенероване число.
   3. Будується точка $P_{i}$ з новими координатами: $x_{i}={\frac {x_{i-1}+2x_{A}}{3}};y_{i}={\frac {y_{i-1}+2y_{A}}{3}};z_{i}={\frac {z_{i-1}+2z_{A}}{3}}$, де: $x_{i-1},y_{i-1},z_{i-1}$ – координати попередньої точки $P_{i-1}$; $x_{A},y_{A},z_{A}$ – координати активної точки-атрактора.
5. Повернення до початку циклу.

Губка Менгера складається з 20 однакових частин, коефіцієнт подібності 1/3.

Властивості

• Кожна грань вихідного куба виглядає як килим Серпінського.
• Губка Менгера має проміжну (тобто не цілу) хаусдорфову розмірність, яка дорівнює $\ln 20/\ln 3\approx 2,73$ оскільки вона складається з 20 рівних частин, кожна з яких подібна всій губці з коефіцієнтом подібності 1/3.
• Губка Менгера має топологічну розмірність 1, більше того
  • Губка Менгера топологічно характеризується як одновимірний зв'язний локально зв'язний метризовний компакт, що не має точок локального розбиття (тобто для будь-якого зв'язного околу $U$ будь-якої точки $x\in M$ множина $U\backslash x$ зв'язна) і не має непорожніх відкритих і вкладених у площину підмножин.
• Губка Менгера є універсальною кривою Урисона, тобто вона має таку властивість, що яка б не була крива Урисона $C$, в губці Менгера знайдеться підмножина $C'$, гомеоморфна $C$.
• Губка Менгера має нульовий об'єм, але нескінченну площу граней. Об'єм визначається формулою 20/27 на кожну ітерацію.

Див. також

• Трикутник Серпінського
• Крива Урисона

Фільм

скринька з фільму "Повсталий з пекла"

На основі губки Менгера французьким інженером ЛеМаршаном з серії фільмів Повсталий з пекла була побудована скринька.