В геометрії кривих, вершина — це точка, в якої перша похідна кривини дорівнює нулю.[1] Як правило, це локальний максимум або мінімум кривини,[2] і деякі автори визначають вершину як екстремальну точку кривини.[3] Однак, тут можуть виникнути спеціальні випадки, наприклад, коли друга похідна теж дорівнює нулю або коли кривина постійна.

Еліпс (червоний) та його еволюта (синя). Точки є вершинами кривої та кожна з них відповідає вістрю еволюти.

Приклади ред.

Гіпербола має дві вершини, на кожній гілці — одну. Ці вершини мають найменшу відстань поміж двома точками на гіперболі та лежать на головній осі. На параболі всього одна вершина, і вона лежить на осі симетрії.[2] В еліпса чотири вершини, дві з них лежать на великій осі та дві на малій.[4]

На колі, оскільки воно має сталу кривину, будь-яка точка є вершиною.

Точки перегину и дотику ред.

Вершини — це точки, де крива має дотик порядку 3 зі стичним колом в цій точці.[5][6] Звичайно точки на кривій мають зі стичним колом дотик другого порядку. Еволюта кривої звичайно має касп, якщо крива має вершину[6]. Бувають й інші особливі точки в вершинах великого порядку, в яких порядок дотику зі стичним колом більше трьох.[5] Хоча звичайно крива не має вершин високого порядку, у сімействах кривих дві звичайні вершини можуть злитися в вершину великого порядку, а потім зникнути.

Множина симетрії[en] кривої має кінці в каспах, що відповідають вершинам, а срединна вісь, підмножина множини симетрії, також має кінці в каспах.

Інші властивості ред.

Згідно з теоремою про чотири вершини будь-яка проста замкнена пласка крива повинна мати щонайменше чотири вершини.[7] Більш загальне твердження, що будь-яка проста замкнена крива у просторі розташована на опуклій поверхні, або обмежує локально опуклий диск, має чотири вершини[8][9].

Якщо крива дзеркально симетрична, вона має вершину в точці перетину осі симетрії з кривою. Таким чином, поняття вершини кривої тісно пов'язано з оптичними точками, точками, в яких оптична вісь перетинає поверхню лінзи.

Примітки ред.

  1. (Agoston, 2005), стор. 570; (Gibson, 2001), стор. 126.
  2. а б (Gibson, 2001), стор. 127.
  3. (Fuks та Tabachnikov, 2007), стор. 141.
  4. (Agoston, 2005), стор. 570; (Gibson, 2001), стор. 127.
  5. а б (Gibson, 2001), стор. 126.
  6. а б (Fuks та Tabachnikov, 2007), стр. 142.
  7. (Agoston, 2005), Теорема 9.3.9, стор. 570; (Gibson, 2001), Section 9.3, «The Four Vertex Theorem», стор. 133–136; (Fuks та Tabachnikov, 2007), Теорема 10.3, стор. 149.
  8. Sedykh, V.D. (1994). Four vertices of a convex space curve. Bull. London Math. Soc. 26 (2): 177–180. 
  9. Ghomi, Mohammad (2015). Boundary torsion and convex caps of locally convex surfaces. arXiv:1501.07626. 

Посилання ред.