Відкрити головне меню

Александровська геометрія

Александровська геометрія — своєрідний розвиток аксіоматичного підходу в сучасній геометрії. Ідея полягає в заміні певної рівності в аксіоматиці евклідового простору на нерівність.

ІсторіяРедагувати

Перше синтетичне визначення обмежень на кривину знизу і зверху дав Абрахам Вальд[ru] у своїй студентській роботі, написаній під керівництвом Карла Менгера[ru].[1] Ця робота була забута аж до 1980-их років.

Подібні визначення були перевідкриті Олександром Даниловичем Александровим.[2][3] Він також дав перші значні застосування цієї теорії, зокрема до завдань вкладення і згинання поверхонь.

Близьке визначення метричних просторів недодатною кривиною було дане майже одночасно Буземаном[ru].[4]

Дослідження Александрова та його учнів велись за двома основним напрямками:

  • Двовимірні простори з кривиною, обмеженою знизу;
  • Простори довільної розмірності з кривиною обмеженою зверху.

Простори довільної розмірності з кривиною, обмеженою знизу, почали вивчати тільки в кінці 90-х років. Поштовхом до цих досліджень стала Теорема Громова про компактність[ru]. Основна робота була написана Юрієм Дмитровичем Бураго[ru], Михайлом Леонідовичем Громовим і Григорієм Яковичем Перельманом.[5]

Основні визначенняРедагувати

Трикутник порівняння для трійки точок   метричного простору   це трикутник   на евклідовій площині   з тими ж довжинами сторін; тобто

 

Кут при вершині   у трикутнику порівняння   називаються кутом порівняння трійки   і позначаються  .

В геометрії Александрова розглядаються повні метричні простори   з внутрішньої метрикою з однією з двох таких нерівностей на 6 відстаней між 4 довільними точками.

Недодатна кривинаРедагувати

Перша нерівність, полягає в такому: для довільних 4 точок   розглянемо кілька трикутників порівняння   і  . Тоді для довільної точки   виконується нерівність

 

У цьому випадку кажуть, що простір задовольняє  -нерівності. У разі локального виконання цієї нерівності, кажуть, що простір має недодатну кривину в сенсі Александрова.

Невід'ємна кривинаРедагувати

Друга нерівність, полягає в такому: для довільних 4 точок   виконується нерівність

 

У цьому випадку кажуть, що простір задовольняє  -нерівності або кажуть, що простір має невід'ємну кривину в сенсі Александрова.

Загальні обмеження на кривинуРедагувати

Замість Евклідової площини можна взяти простір   — модельну площину кривини  . Тобто

  •   є евклідова площина,
  •   при   є сфера радіуса  ,
  •   при   є площина Лобачевського кривини  .

Тоді вищенаведені визначення перетворюються на визначення CAT[k] і CBB[k] просторів та просторів з кривиною   і   у сенсі Александрова У разі  , трикутник порівняння трійки   вважається визначеним, якщо виконана така нерівність

 .

Основні теоремиРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Wald, A. Begründung eiiner Koordinatenlosen Differentialgeometrie der Flächen // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquium. — 1935. — Bd. 6. — S. 24—46.
  2. Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. — Гостехиздат, 1948.
  3. Александров А. Д. Одна теорема о треугольниках в метрическом пространстве и некоторые ее приложения // Тр. МИАН СССР. — 1951. — Т. 38. — С. 5—23.
  4. Busemann, Herbert with Spaces non-positive curvature. Acta Math. 80, (1948). 259—310.
  5. Ю. Д. Бураго, М. Л. Громов, Г. Я. Перельман. Пространства А. Д. Александрова с ограниченными снизу кривизнами // УМН. — 1992. — Т. 47, № 2(284). — С. 3—51.

ЛітератураРедагувати