Аксіоматика Александрова (геометрія)

Аксіоматика Александрова — аксіоматика евклідової геометрії, запропонована російським математиком О. Александровим в книзі «Основи геометрії».

Неозначувані поняття

Олександр Данилович Александров до основних об'єктів планіметрії відносить точки та відрізки, а до основних відношень — «точка є кінцем відрізка», «точка належить відрізку», «рівність відрізків».

Аксіоми

Перша група — аксіоми зв'язку.

І₁. Аксіома існування. Існує хоча б один відрізок. Кожен відрізок має два і тільки два кінці. Крім того, відрізок містить інші точки, що належать відрізку.

І₂. Аксіома проведення відрізка. Кожні дві точки можна з'єднати відрізком і при цьому тільки одним.

І₃. Аксіома поділу відрізка. Кожна точка, що належить відрізку, ділить його на два відрізки, тобто, якщо точка $C$ належить відрізку $AB$ , то вона ділить його на два відрізки $AC$ і $BC$ , які не мають спільних внутрішніх точок.

І₄. Аксіома з'єднання відрізків. Якщо точка $C$ належить відрізку $AB$ , а $B$ — відрізку $CD$ , то відрізки $AB$ та $CD$ утворюють відрізок $AD$ .

Друга група — аксіоми рівності.

ІІ₁. Аксіома відкладання відрізка. Для будь-яких двох відрізків $AB$ та $MN$ існує, причому єдиний, відрізок $AC$ , рівний $MN$ та такий, що накладається на $AB$ .
ІІ₂. Аксіома порівняння. Два відрізка, рівні одному й тому ж відрізку, рівні один одному.
ІІ₃. Аксіома додавання. Якщо точка $C$ належить відрізку $AB$ , точка $C_{1}$ належить відрізку $A_{1}B_{1}$ та $AC=A_{1}C_{1}$ , $BC=B_{1}C_{1}$ , то $AB=A_{1}B_{1}$ .

ІІ₄. Аксіома Архімеда. Для будь-яких даних відрізків $a$ та $b=AB$ існує відрізок $AA_{n}$ , що містить $AB$ , на якому є такі точки $A_{1}$ , $A_{2}$ ,…, $A_{n}$ , що відрізки $AA_{1}$ , $A_{1}A_{2}$ ,…, $A_{n-1}A_{n}$ рівні $a$ .

Третя група ― аксіома неперервності.

ІІІ₁. Для будь-якої послідовності вкладених відрізків $A_{1}B_{1}$ , $A_{2}B_{2}$ …, існує точка, що належить всім цим відрізкам.

Четверта група — площинні аксіоми.

IV₁. Аксіома поділу площини. Стосовно кожного даного відрізка $a$ всі точки, що не лежать на жодному з відрізків, що містить $a$ , діляться на два класи: в один клас входять точки, що лежать з однієї сторони від $a$ , в другий — точки, що лежать по другу сторону від $a$ , причому в кожному класі є точки.

IV₂. Аксіома відкладання кута. Від кожного відрізка по дану сторону від нього, від даного його кінця можна відкласти кут, рівний даному куту. (Кути рівні, якщо у них є рівні відповідні поперечини. Поперечиною називається відрізок з кінцями на сторонах кута. Відповідними поперечинами $AB$ та $A_{1}B_{1}$ кутів $O$ та $O_{1}$ називаються поперечини, для яких $OA=O_{1}A_{1}$ та $OB=O_{1}B_{1}$ ).

IV₃. Аксіома паралельних відрізків. Якщо відрізки $AC$ та $BD$ рівні та відкладені в одну сторону від відрізка $AB$ під прямим кутом, то $CD=AB$ .

П'ята група ― просторові аксіоми.

V₁. Аксіома площини. В просторі існують площини (фігури, для яких справедливі аксіоми планіметрії). Через кожні три точки простору проходить площина.
V₂. Аксіома перетину площин. Якщо дві площини мають спільну точку, то їхнім перетином є їхня спільна пряма.
V₃. Аксіома належності прямої площині. Якщо пряма проходить через дві точки даної площини, то вона лежить у цій площині.
V₄. Аксіома розбиття простору площиною. Кожна площина розбиває простір на два півпростори.
V₅. Аксіома відстані. Відстань між довільним двома точками простору не залежить від того, на якій площині, що містить ці точки, вона виміряна.

Див. також

Посилання

Александров О. Д. Основания геометрии. — М.: Наука, 1987. — 288 с.
Ілляшенко В. Я. Основи геометрії [Архівовано 13 серпня 2016 у Wayback Machine.]: Навч. посіб. для вищ. навч. закл. — Луцьк: РВВ «Вежа» Волин. нац. ун-ту ім. Лесі Українки, 2012. — 256 с.