Автономне диференціальне рівняння

Автономне диференціальне рівняння (англ. autonomous differential equation) — система звичайних диференціальних рівнянь, яка не залежить явно від незалежної змінної. Коли ця змінна є часом, таке рівняння також відоме як часоінваріантна система.

Багато законів фізики, де зазвичай незалежна змінна є час, виражені як автономні системи, бо припускають, що закони природи, які діють нині тотожні тим, що діяли в минулому чи діятимуть у майбутньому.

Автономні системи близько стосуються динамічних систем. Будь-яку автономну систему можна перетворити в динамічну і, використовуючи дуже слабкі припущення, динамічну систему можна перетворити в автономну.

Визначення ред.

Автономна система — система звичайних диференціальних рівнянь у вигляді

{\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))

де x приймає значення в n-вимірному Евклідовому просторі і t зазвичай є часом.

Така система відрізняється від системи типу

{\frac {d}{dt}}x(t)=g(x(t),t)

в яких закон, що керує швидкістю руху частинок залежить не тільки від положення частинок, але й від часу; такі системи не є автономними.

Важливою властивістю автономних систем є те, що векторне поле не змінюється з часом, тобто, якщо ми стартуємо в тій самій точці секундою пізніше, ми слідуємо тій самій траєкторії як і раніше лиш із затримкою на одну секунду.

Методи розв'язання ред.

Для розв'язання одновимірних автономних диференціальних рівнянь застосовуються такі підходи. Будь-яке одновимірне рівняння порядку $n$ тотожне до $n$ -вимірної системи рівнянь першого порядку, але не обов'язково навпаки.

Перший порядок ред.

В автономному рівнянні першого порядку

{\frac {dx}{dt}}=f(x)

змінні можна розділити, отже його можна швидко розв'язати через переведення в інтегральну форму

t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}

Другий порядок ред.

Автономне рівняння другого порядку

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x,x')

складніше, але його можна розв'язати^[1] через введення нової змінної

v={\frac {dx}{dt}}

і вираження другої похідної $x$ (через ланцюгове правило) як

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {dv}{dx}}

отже початкове рівняння переходить у

v{\frac {dv}{dx}}=f(x,v)

яка є рівнянням першого порядку, яка не містить незалежної змінної $t$ і, якщо розв'язати ми отримуємо $v$ як функцію від $x$ . Тоді, використавши визначення $v$ :

{\frac {dx}{dt}}=v(x)\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{v(x)}}

що є неявним розв'язком.

Література ред.

Самойленко А. М.; Перестюк М. О.; Парасюк I.О. (2003 р.). Диференціальні рівняння (PDF). Київ: Либідь. ISBN 966-06-0249-9. Архів оригіналу (PDF) за 17 червня 2014. Процитовано 2 грудня 2015.

Примітки ред.

↑ Boyce, William E.; Richard C. DiPrima (2005). Elementary Differential Equations and Boundary Volume Problems (вид. 8th ed.). John Wiley & Sons. с. 133. ISBN 0-471-43338-1.

[1] Boyce, William E.; Richard C. DiPrima (2005). Elementary Differential Equations and Boundary Volume Problems (вид. 8th ed.). John Wiley & Sons. с. 133. ISBN 0-471-43338-1.

[1]