Автономне диференціальне рівняння

Автономне диференціальне рівняння (англ. autonomous differential equation) — система звичайних диференціальних рівнянь, яка не залежить явно від незалежної змінної. Коли ця змінна є часом, таке рівняння також відоме як часоінваріантна система.

Багато законів фізики, де зазвичай незалежна змінна є час, виражені як автономні системи, бо припускають, що закони природи, які діють нині тотожні тим, що діяли в минулому чи діятимуть у майбутньому.

Автономні системи близько стосуються динамічних систем. Будь-яку автономну систему можна перетворити в динамічну і, використовуючи дуже слабкі припущення, динамічну систему можна перетворити в автономну.

ВизначенняРедагувати

Автономна система — система звичайних диференціальних рівнянь у вигляді

 

де x приймає значення в n-вимірному Евклідовому просторі і t зазвичай є часом.

Така система відрізняється від системи типу

 

в яких закон, що керує швидкістю руху частинок залежить не тільки від положення частинок, але й від часу; такі системи не є автономними.

Важливою властивістю автономних систем є те, що векторне поле не змінюється з часом, тобто, якщо ми стартуємо в тій самій точці секундою пізніше, ми слідуємо тій самій траєкторії як і раніше лиш із затримкою на одну секунду.

Методи розв'язанняРедагувати

Для розв'язання одновимірних автономних диференціальних рівнянь застосовуються такі підходи. Будь-яке одновимірне рівняння порядку   тотожне до  -вимірної системи рівнянь першого порядку, але не обов'язково навпаки.

Перший порядокРедагувати

В автономному рівнянні першого порядку

 

змінні можна розділити, отже його можна швидко розв'язати через переведення в інтегральну форму

 

Другий порядокРедагувати

Автономне рівняння другого порядку

 

складніше, але його можна розв'язати[1] через введення нової змінної

 

і вираження другої похідної   (через ланцюгове правило) як

 

отже початкове рівняння переходить у

 

яка є рівнянням першого порядку, яка не містить незалежної змінної   і, якщо розв'язати ми отримуємо   як функцію від  . Тоді, використавши визначення  :

 

що є неявним розв'язком.

ЛітератураРедагувати

  1. Самойленко А. М.; Перестюк М. О.; Парасюк I.О. (2003 р.). Диференціальні рівняння. Київ: Либідь. ISBN 966-06-0249-9. Архів оригіналу за 17 червень 2014. Процитовано 2 грудень 2015. 

ПриміткиРедагувати

  1. Boyce, William E.; Richard C. DiPrima (2005). Elementary Differential Equations and Boundary Volume Problems (вид. 8th ed.). John Wiley & Sons. с. 133. ISBN 0-471-43338-1.