Ланцюгове правило (правило диференціювання складеної функції ) дозволяє обчислити похідну композиції двох і більше функцій на основі індивідуальних похідних.
Якщо функція f має похідну в точці
x
0
{\displaystyle x_{0}}
y
0
=
f
(
x
0
)
{\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
Оператор \ Функція
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
,
y
,
u
(
x
,
y
)
,
v
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle f(x,y,u(x,y),v(x,y))}
Диференціал
1:
d
f
=
d
e
f
f
x
′
d
x
{\displaystyle \operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x}
2:
d
x
f
=
d
e
f
f
x
′
d
x
{\displaystyle \operatorname {d} _{x}\!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x}
3:
d
f
=
d
e
f
f
x
′
d
x
+
f
y
′
d
y
+
f
u
′
d
u
+
f
v
′
d
v
{\displaystyle \operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x+f'_{y}\operatorname {d} \!y+f'_{u}\operatorname {d} \!u+f'_{v}\operatorname {d} \!v}
Часткова похідна
f
x
′
=
(
1
)
d
f
d
x
{\displaystyle f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}}
f
x
′
=
(
2
)
d
x
f
d
x
=
∂
f
∂
x
{\displaystyle f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} _{x}\!f}{\operatorname {d} \!x}}={\partial f \over \partial x}}
Повна похідна
d
f
d
x
=
(
1
)
f
x
′
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}f'_{x}}
d
f
d
x
=
(
3
)
f
x
′
+
f
u
′
d
u
d
x
+
f
v
′
d
v
d
x
;
(
f
y
′
d
y
d
x
=
0
)
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}f'_{x}+f'_{u}{\frac {\operatorname {d} \!u}{\operatorname {d} \!x}}+f'_{v}{\frac {\operatorname {d} \!v}{\operatorname {d} \!x}};(f'_{y}{\frac {\operatorname {d} \!y}{\operatorname {d} \!x}}=0)}
Одновимірний випадок
ред.
Нехай функції, визначені в околах на числовій прямій,
f
:
U
(
x
0
)
→
V
(
y
0
)
,
{\displaystyle f:U(x_{0})\to V(y_{0}),}
y
0
=
f
(
x
0
)
,
{\displaystyle y_{0}=f(x_{0}),}
g
:
V
(
y
0
)
→
R
{\displaystyle g:V(y_{0})\to \mathbb {R} }
f
∈
D
(
x
0
)
,
g
∈
D
(
y
0
)
.
{\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),\;g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).}
h
=
g
∘
f
∈
D
(
x
0
)
,
{\displaystyle h=g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),}
h
′
(
x
0
)
=
g
′
(
f
(
x
0
)
)
⋅
f
′
(
x
0
)
.
{\displaystyle h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0}).}
Зауваження
ред.
У позначеннях Лейбніца ланцюгове правило для обчислення похідної функції
y
=
y
(
x
)
,
{\displaystyle y=y(x),}
x
=
x
(
t
)
,
{\displaystyle x=x(t),}
d
y
d
t
=
d
y
d
x
⋅
d
x
d
t
.
{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.}
Інваріантність форми першого диференціала
ред.
Диференціал функції
z
=
g
(
y
)
{\displaystyle z=g(y)}
y
0
{\displaystyle y_{0}}
d
z
=
g
′
(
y
0
)
d
y
,
{\displaystyle dz=g'(y_{0})\,dy,}
де
d
y
{\displaystyle dy}
y
→
y
{\displaystyle y\to y}
d
y
(
h
)
=
h
,
h
∈
R
.
{\displaystyle dy(h)=h,\quad h\in \mathbb {R} .}
Нехай тепер
y
=
f
(
x
)
,
x
∈
U
(
x
0
)
,
f
∈
D
(
x
0
)
.
{\displaystyle y=f(x),\;x\in U(x_{0}),\;f\in {\mathcal {D}}(x_{0}).}
d
y
=
f
′
(
x
0
)
d
x
{\displaystyle dy=f'(x_{0})\,dx}
d
z
=
g
′
(
f
(
x
0
)
)
⋅
f
′
(
x
0
)
d
x
=
g
′
(
y
0
)
d
y
.
{\displaystyle dz=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0})\,dx=g'(y_{0})\,dy.}
Таким чином, форма першого диференціала залишається тою самою в незалежності від того, є змінна функцією чи ні.
Нехай
h
(
x
)
=
(
3
x
2
−
5
x
)
7
.
{\displaystyle h(x)=(3x^{2}-5x)^{7}.}
h
{\displaystyle h}
h
=
g
∘
f
,
{\displaystyle h=g\circ f,}
f
(
x
)
=
3
x
2
−
5
x
,
g
(
y
)
=
y
7
.
{\displaystyle f(x)=3x^{2}-5x,\;g(y)=y^{7}.}
Диференціюємо ці функції окремо:
f
′
(
x
)
=
6
x
−
5
,
g
′
(
y
)
=
7
y
6
,
{\displaystyle f'(x)=6x-5,\;g'(y)=7y^{6},}
отримуємо
h
′
(
x
)
=
7
(
3
x
2
−
5
x
)
6
⋅
(
6
x
−
5
)
.
{\displaystyle h'(x)=7(3x^{2}-5x)^{6}\cdot (6x-5).}
Багатовимірний випадок
ред.
Нехай дані функції
f
:
U
(
x
0
)
⊂
R
m
→
V
(
y
0
)
⊂
R
n
,
{\displaystyle f:U(x_{0})\subset \mathbb {R} ^{m}\to V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n},}
y
0
=
f
(
x
0
)
,
{\displaystyle y_{0}=f(x_{0}),}
g
:
V
(
y
0
)
⊂
R
n
→
R
p
.
{\displaystyle g:V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}.}
f
∈
D
(
x
0
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}
g
∈
D
(
y
0
)
.
{\displaystyle g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).}
d
h
(
x
0
)
=
d
g
(
y
0
)
∗
d
f
(
x
0
)
.
{\displaystyle dh(x_{0})=dg(y_{0})*df(x_{0}).}
Зокрема, матриця Якобі функції
h
{\displaystyle h}
g
{\displaystyle g}
f
:
{\displaystyle f:}
∂
(
h
1
,
…
,
h
p
)
∂
(
x
1
,
…
,
x
m
)
=
∂
(
h
1
,
…
,
h
p
)
∂
(
y
1
,
…
,
y
n
)
⋅
∂
(
y
1
,
…
,
y
n
)
∂
(
x
1
,
…
,
x
m
)
.
{\displaystyle {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}={\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\cdot {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}.}
Наслідки
ред.
Якобіан композиції двох функцій є добутком якобіанів індивідуальних функцій:
|
∂
(
h
1
,
…
,
h
p
)
∂
(
x
1
,
…
,
x
m
)
|
=
|
∂
(
h
1
,
…
,
h
p
)
∂
(
y
1
,
…
,
y
n
)
|
⋅
|
∂
(
y
1
,
…
,
y
n
)
∂
(
x
1
,
…
,
x
m
)
|
.
{\displaystyle \left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}\right\vert =\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\right\vert \cdot \left\vert {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}\right\vert .}
Для часткових похідних складеної функції справедливо
∂
h
(
x
0
)
∂
x
j
=
∑
i
=
1
n
∂
g
(
y
0
)
∂
y
i
∂
y
i
∂
x
j
,
j
=
1
,
…
m
.
{\displaystyle {\frac {\partial h(x_{0})}{\partial x_{j}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(y_{0})}{\partial y_{i}}}{\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{j}}},\quad j=1,\ldots m.}
Література
ред.
