Відкрити головне меню

Диференціювання складної функції

Ланцюгове правило (правило диференціювання складної функції) дозволяє обчислити похідну композиції двох і більше функцій на основі індивідуальних похідних.

Якщо функція f має похідну в точці , а функція g має похідну в точці , тоді складна функція h(x) = g(f(x)) також має похідну в точці .

Одновимірний випадокРедагувати

Нехай функції, визначені в околах на числовій прямій,   де   і   Нехай також ці функції диференційовані:   Тоді їх композиція також диференційована:   і її похідна має вигляд:

 

ЗауваженняРедагувати

У позначеннях Лейбніца ланцюгове правило для обчислення похідної функції   де   набуває такого вигляду:

 

Інваріантність форми першого диференціалаРедагувати

Диференціал функції   в точці   має вигляд:

 

де   — диференціал тотожного відображення  :

 

Нехай тепер   Тоді  , і згідно з ланцюговомим правилом:

 

Таким чином, форма першого диференціала залишається тою самою в незалежності від того, є змінна функцією чи ні.

ПрикладРедагувати

Нехай   Тоді функція   може бути записана у вигляді композиції   де

 

Диференціюємо ці функції окремо:

 

отримуємо

 

Багатовимірний випадокРедагувати

Нехай дані функції   де   і   Нехай також ці функції диференційовані:   і   Тоді їх композиція також диференційована, і її диференціал має вигляд

 

Зокрема, матриця Якобі функції   є добутком матриць Якобі функцій   і  

 

НаслідкиРедагувати

  • Якобіан композиції двох функцій є добутком якобіанів індивідуальних функцій:
     

Для часткових похідних складної функції справедливо

  •