Інтегральне рівняння

Інтегральним є рівняння, яке містить інтеграл, підінтегральний вираз якого включає в себе невідому функцію


ВизначенняРедагувати

Інтегральним є рівняння, яке містить інтеграл, підінтегральний вираз якого включає в себе невідому функцію   Нехай   та   - відомі функції. Інтегральні рівняння мають вигляд

 

або

 

де   - чисельний множник. Функція   під інтегралом називається ядром інтегрального рівняння і повинна бути визначена у прямокутнику   Функції   та   повинні бути визначені у інтервалі  

Інтегральне рівняння є лінійним, якщо невідома функція входить до нього лінійно. Обидва вищенаведені рівняння є лінійними. Якщо обидві границі інтегрування сталі, то рівняння називається інтегральним рівнянням Фредгольма. Рівняння, до якого невідома функція входить лише під знаком інтегралу, визначають як інтегральне рівняння першого роду. Перше з вищенаведених рівнянь є інтегральним рівнянням першого роду. Інтегральне рівняння другого роду - це рівняння, у якому невідома функція присутня як під знаком інтегралу, так і поза ним; друге з вищенаведених рівнянь - приклад такого рівняння.

Якщо рівняння таке, що кожний член містить невідому функцію, то воно представляє собою однорідне інтегральне рівняння. Якщо у рівняння входить член, який не містить невідому функцію, то воно є неоднорідним. Друге з вищенаведених рівнянь є прикладом однорідного рівняння Фредгольма другого роду.

Рішення інтегрального рівняння базується на оберненні першого лінійного інтегрального виразу з метою віднаходження   або на відшуканні функції  , яка входить у друге рівняння.

Важливим рівнянням серед рівнянь першого роду є інтегральне рівняння Фур'є:

 

Ядром цього рівняння є  

Власні функції однорідного інтегрального рівняння із симетричним ядром є ортогональними. Це значить, що

 

де

 

 

Нехай  , помножимо   та   віднімемо одну рівність від іншої. Після інтегрування знаходимо

 

Перша частина цієї рівності дорівнює нулю (якщо переставити змінні інтегрування у другій частині подвійного інтегралу із врахуванням того, що  ). Оскільки  , то власні функції є ортогональними.


Основні види інтегральних рівняньРедагувати

Лінійні рівнянняРедагувати

Найпростішим типом рівнянь є рівняння Фредгольма першого роду:

 

де φ є невідомою функцією, f є деякою даною функцією, K є відомою функцією двох змінних, що називається ядром рівняння.

Якщо невідома функція знаходиться як під знаком інтеграла так і за його межами, то таке рівняння називається рівняням Фредгольма другого роду:

 

Де параметр λ є невідомим і відіграє ту ж роль, що власне значення у лінійній алгебрі.

Якщо межі інтегрування самі є змінними то таке інтегральне рівняння називається рівнянням Вольтерра. Відповідно рівняння Вольтерра першого і другого роду мають вигляд:

 
 

В усіх поданих вище рівняннях якщо функція f всюди рівна нулю то рівняння називається однорідним. В іншому випадку  — неоднорідним.

Нелінійні рівнянняРедагувати

Рівняння УрисонаРедагувати

 

Стала    — деяке додатне число, яке не завжди наперед можна визначити.

Рівняння ГаммерштейнаРедагувати

Рівняння Гаммерштейна є частковим випадком рівнянь Урисона:

 

де  ядро Фредгольма.

Рівняння Ляпунова — ЛіхтенштейнаРедагувати

Рівняння Ляпунова — Ліхтенштейна  — рівняння з суттєво нелінійними операторами, наприклад:

 

Нелінійне Рівняння ВольтерраРедагувати

 

де функція   неперервна за всіма своїми змінними.

ЛітератураРедагувати

  • М. Л. Краснов. Интегральные уравнения: введение в теорию. — М.: Наука, 1975.
  • В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5
  • Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.

ПосиланняРедагувати