Інтегральний логарифм

Інтегральний логарифм — спеціальна функція, що визначається для дійсних $x\neq 1,$ рівністю:

${\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.\;$ при x > 1 підінтегральна функція має в точці t=1 нескінченний розрив і інтегральний логарифм розуміється в сенсі головного значення:

${\rm {li}}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right).\;$

Інтегральний логарифм

Також для усунення сингулярності в точці 1 іноді визначається зсунутий інтегральний логарифм:

$\mathrm {Li} \,(x)=\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.$

Між двома функціями справедлива рівність:

$\mathrm {Li} \,(x)-\mathrm {li} \,(x)=\mathrm {li} \,(2)\approx 1{,}045~163~780~117~492\ldots$

Властивості

• При малих x:

${\rm {li}}(x)\approx {\frac {x}{\ln(1/x)}}$

• Інтегральний логарифм пов'язаний з інтегральною показниковою функцією

Ei(x) співвідношеннями:

${\hbox{li}}(x)={\hbox{Ei}}(\ln x),\,\!$

• Інтегральний логарифм подається у вигляді ряду

$\mathrm {li} \,(x)=\mathrm {Ei} \,(\ln x)=\gamma +\ln \ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{n}}{n\cdot n!}},$

де $\gamma \approx 0{,}577~215~664~901~532\ldots$ — стала Ейлера;

• Інший ряд, що збігається швидше був виведений Срінівасою Рамануджаном:

$\mathrm {li} \,(x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{2^{n-1}n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.$

• Інтегральний логарифм має єдиний нуль в точці $\mu \approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots$ — стала Рамануджана — Солднера

Комплексна змінна

Як функція комплексної змінної z інтегральний логарифм можна визначити:

$\mathrm {li} \,(x)=\mathrm {Ei} \,(\ln x)=\gamma +\ln(-\ln z)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\ln z)^{n}}{n\cdot n!}},$

Інтегральний логарифм тоді буде однозначною аналітичною функцією в комплексній площині z з розрізами уздовж дійсної осі від -$\infty$ до 0 і від 1 до $\infty$ (уявні частини логарифмів беруться при цьому в межах від -$\pi$ до $\pi$).

Застосування в теорії чисел

Інтегральний логарифм відіграє важливу роль у теорії чисел. Зокрема, згідно з теоремою про розподіл простих чисел:

$\pi (x)\sim {\hbox{li}}(x)\sim {\hbox{Li}}(x),\,$ де $\pi (x)$ — кількість простих чисел менших або рівних x.

Див. також

• Інтегральна показникова функція
• Інтегральний косинус
• Теорема про розподіл простих чисел

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.