Інтегральний логарифм

Інтегральний логарифмспеціальна функція, що визначається для дійсних рівністю:

при x > 1 підінтегральна функція має в точці t=1 нескінченний розрив і інтегральний логарифм розуміється в сенсі головного значення:

Інтегральний логарифм

Також для усунення сингулярності в точці 1 іноді визначається зсунутий інтегральний логарифм:

Між двома функціями справедлива рівність:

ВластивостіРедагувати

  • При малих x:
 

Ei(x) співвідношеннями:

 
  • Інтегральний логарифм подається у вигляді ряду
 
де  стала Ейлера;
 
  • Інтегральний логарифм має єдиний нуль в точці   — стала Рамануджана — Солднера

Комплексна зміннаРедагувати

Як функція комплексної змінної z інтегральний логарифм можна визначити:

 

Інтегральний логарифм тоді буде однозначною аналітичною функцією в комплексній площині z з розрізами уздовж дійсної осі від -  до 0 і від 1 до   (уявні частини логарифмів беруться при цьому в межах від -  до  ).

Застосування в теорії чиселРедагувати

Інтегральний логарифм відіграє важливу роль у теорії чисел. Зокрема, згідно з теоремою про розподіл простих чисел:

  де   — кількість простих чисел менших або рівних x.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.